Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cdleme21a.l |
⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 ) |
2 |
|
cdleme21a.j |
⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 ) |
3 |
|
cdleme21a.a |
⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 ) |
4 |
|
simp11 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL ) |
5 |
|
hlcvl |
⊢ ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CvLat ) |
6 |
4 5
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝐾 ∈ CvLat ) |
7 |
|
simp12 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 ) |
8 |
|
simp2l |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑆 ∈ 𝐴 ) |
9 |
|
simp3l |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑧 ∈ 𝐴 ) |
10 |
|
simp13 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑄 ∈ 𝐴 ) |
11 |
|
simp2r |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) |
12 |
1 2 3
|
atnlej1 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) → 𝑆 ≠ 𝑃 ) |
13 |
12
|
necomd |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) → 𝑃 ≠ 𝑆 ) |
14 |
4 8 7 10 11 13
|
syl131anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑃 ≠ 𝑆 ) |
15 |
|
simp3r |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) |
16 |
3 2
|
cvlsupr6 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑆 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑧 ≠ 𝑆 ) |
17 |
16
|
necomd |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑆 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑆 ≠ 𝑧 ) |
18 |
6 7 8 9 14 15 17
|
syl132anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑆 ≠ 𝑧 ) |