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Theorem cdlemftr1

Description: Part of proof of Lemma G of Crawley p. 116, sixth line of third paragraph on p. 117: there is "a translation h, different from the identity, such that tr h =/= tr f." (Contributed by NM, 25-Jul-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemftr.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
cdlemftr.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemftr.t 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemftr.r 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
Assertion cdlemftr1 ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) → ∃ 𝑓𝑇 ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝑓 ) ≠ 𝑋 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemftr.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 cdlemftr.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
3 cdlemftr.t 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
4 cdlemftr.r 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
5 1 2 3 4 cdlemftr2 ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) → ∃ 𝑓𝑇 ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝑓 ) ≠ 𝑋 ∧ ( 𝑅𝑓 ) ≠ 𝑋 ) )
6 3simpa ( ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝑓 ) ≠ 𝑋 ∧ ( 𝑅𝑓 ) ≠ 𝑋 ) → ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝑓 ) ≠ 𝑋 ) )
7 6 reximi ( ∃ 𝑓𝑇 ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝑓 ) ≠ 𝑋 ∧ ( 𝑅𝑓 ) ≠ 𝑋 ) → ∃ 𝑓𝑇 ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝑓 ) ≠ 𝑋 ) )
8 5 7 syl ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) → ∃ 𝑓𝑇 ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝑓 ) ≠ 𝑋 ) )