Theorem cdlemg2fv

Description: Value of a translation in terms of an associated atom. cdleme48fvg with simpler hypotheses. TODO: Use ltrnj to vastly simplify. (Contributed by NM, 23-Apr-2013)

	Ref	Expression
Hypotheses	cdlemg2inv.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
	cdlemg2inv.t	⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	cdlemg2j.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
	cdlemg2j.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
	cdlemg2j.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
	cdlemg2j.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
	cdlemg2j.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
Assertion	cdlemg2fv	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemg2inv.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
2		cdlemg2inv.t	⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
3		cdlemg2j.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
4		cdlemg2j.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
5		cdlemg2j.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6		cdlemg2j.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
7		cdlemg2j.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
8		eqid	⊢ ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ 𝑊 ) = ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ 𝑊 )
9		eqid	⊢ ( ( 𝑡 ∨ ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑞 ∨ ( ( 𝑝 ∨ 𝑡 ) ∧ 𝑊 ) ) ) = ( ( 𝑡 ∨ ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑞 ∨ ( ( 𝑝 ∨ 𝑡 ) ∧ 𝑊 ) ) )
10		eqid	⊢ ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ ( ( ( 𝑡 ∨ ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑞 ∨ ( ( 𝑝 ∨ 𝑡 ) ∧ 𝑊 ) ) ) ∨ ( ( 𝑠 ∨ 𝑡 ) ∧ 𝑊 ) ) ) = ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ ( ( ( 𝑡 ∨ ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑞 ∨ ( ( 𝑝 ∨ 𝑡 ) ∧ 𝑊 ) ) ) ∨ ( ( 𝑠 ∨ 𝑡 ) ∧ 𝑊 ) ) )
11		eqid	⊢ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if ( ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑊 ) , ( ℩ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑠 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑥 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑥 ) → 𝑧 = ( if ( 𝑠 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) , ( ℩ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑡 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) → 𝑦 = ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ ( ( ( 𝑡 ∨ ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑞 ∨ ( ( 𝑝 ∨ 𝑡 ) ∧ 𝑊 ) ) ) ∨ ( ( 𝑠 ∨ 𝑡 ) ∧ 𝑊 ) ) ) ) ) , ⦋ 𝑠 / 𝑡 ⦌ ( ( 𝑡 ∨ ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑞 ∨ ( ( 𝑝 ∨ 𝑡 ) ∧ 𝑊 ) ) ) ) ∨ ( 𝑥 ∧ 𝑊 ) ) ) ) , 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if ( ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑊 ) , ( ℩ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑠 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑥 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑥 ) → 𝑧 = ( if ( 𝑠 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) , ( ℩ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑡 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) → 𝑦 = ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ ( ( ( 𝑡 ∨ ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑞 ∨ ( ( 𝑝 ∨ 𝑡 ) ∧ 𝑊 ) ) ) ∨ ( ( 𝑠 ∨ 𝑡 ) ∧ 𝑊 ) ) ) ) ) , ⦋ 𝑠 / 𝑡 ⦌ ( ( 𝑡 ∨ ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑞 ∨ ( ( 𝑝 ∨ 𝑡 ) ∧ 𝑊 ) ) ) ) ∨ ( 𝑥 ∧ 𝑊 ) ) ) ) , 𝑥 ) )
12	7 3 4 6 5 1 2 8 9 10 11	cdlemg2fvlem	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑋 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑊 ) ) )