Theorem cdleml2N

Description: Part of proof of Lemma L of Crawley p. 120. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 1-Aug-2013) (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Hypotheses	cdleml1.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
	cdleml1.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
	cdleml1.t	⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	cdleml1.r	⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	cdleml1.e	⊢ 𝐸 = ( ( TEndo ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
Assertion	cdleml2N	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ∃ 𝑠 ∈ 𝐸 ( 𝑠 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ) = ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdleml1.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2		cdleml1.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
3		cdleml1.t	⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
4		cdleml1.r	⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
5		cdleml1.e	⊢ 𝐸 = ( ( TEndo ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
6		simp1	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
7		simp21	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → 𝑈 ∈ 𝐸 )
8		simp23	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → 𝑓 ∈ 𝑇 )
9	2 3 5	tendocl	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ∈ 𝑇 )
10	6 7 8 9	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ∈ 𝑇 )
11		simp22	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → 𝑉 ∈ 𝐸 )
12	2 3 5	tendocl	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ∈ 𝑇 )
13	6 11 8 12	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ∈ 𝑇 )
14	1 2 3 4 5	cdleml1N	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ) = ( 𝑅 ‘ ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ) )
15	2 3 4 5	cdlemk	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ) = ( 𝑅 ‘ ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ) ) → ∃ 𝑠 ∈ 𝐸 ( 𝑠 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ) = ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) )
16	6 10 13 14 15	syl121anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ∃ 𝑠 ∈ 𝐸 ( 𝑠 ‘ ( 𝑈 ‘ 𝑓 ) ) = ( 𝑉 ‘ 𝑓 ) )