Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
iscgra.p |
⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 ) |
2 |
|
iscgra.i |
⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 ) |
3 |
|
iscgra.k |
⊢ 𝐾 = ( hlG ‘ 𝐺 ) |
4 |
|
iscgra.g |
⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
5 |
|
iscgra.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃 ) |
6 |
|
iscgra.b |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃 ) |
7 |
|
iscgra.c |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃 ) |
8 |
|
iscgra.d |
⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃 ) |
9 |
|
iscgra.e |
⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃 ) |
10 |
|
iscgra.f |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃 ) |
11 |
|
cgrahl1.2 |
⊢ ( 𝜑 → 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ( cgrA ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ) |
12 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”〉 ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → 𝑥 ∈ 𝑃 ) |
13 |
8
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”〉 ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → 𝐷 ∈ 𝑃 ) |
14 |
9
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”〉 ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → 𝐸 ∈ 𝑃 ) |
15 |
4
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”〉 ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
16 |
|
simpr2 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”〉 ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ) |
17 |
1 2 3 12 13 14 15 16
|
hlne2 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”〉 ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → 𝐷 ≠ 𝐸 ) |
18 |
17
|
necomd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”〉 ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → 𝐸 ≠ 𝐷 ) |
19 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
|
iscgra |
⊢ ( 𝜑 → ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ( cgrA ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”〉 ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) ) |
20 |
11 19
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”〉 ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) |
21 |
18 20
|
r19.29vva |
⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ≠ 𝐷 ) |