Theorem chjass

Description: Associative law for Hilbert lattice join. From definition of lattice in Kalmbach p. 14. (Contributed by NM, 10-Jun-2004) (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Assertion	chjass	⊢ ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐶 ) = ( 𝐴 ∨ℋ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1	⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) → ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) = ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ∨ℋ 𝐵 ) )
2	1	oveq1d	⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) → ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐶 ) = ( ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ∨ℋ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐶 ) )
3		oveq1	⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) → ( 𝐴 ∨ℋ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) = ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ∨ℋ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) )
4	2 3	eqeq12d	⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) → ( ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐶 ) = ( 𝐴 ∨ℋ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) ↔ ( ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ∨ℋ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐶 ) = ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ∨ℋ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) ) )
5		oveq2	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) → ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ∨ℋ 𝐵 ) = ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ∨ℋ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) ) )
6	5	oveq1d	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) → ( ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ∨ℋ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐶 ) = ( ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ∨ℋ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) ) ∨ℋ 𝐶 ) )
7		oveq1	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) → ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) = ( if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) ∨ℋ 𝐶 ) )
8	7	oveq2d	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) → ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ∨ℋ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) = ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ∨ℋ ( if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) ∨ℋ 𝐶 ) ) )
9	6 8	eqeq12d	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) → ( ( ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ∨ℋ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐶 ) = ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ∨ℋ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) ↔ ( ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ∨ℋ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) ) ∨ℋ 𝐶 ) = ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ∨ℋ ( if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) ∨ℋ 𝐶 ) ) ) )
10		oveq2	⊢ ( 𝐶 = if ( 𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶 , ℋ ) → ( ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ∨ℋ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) ) ∨ℋ 𝐶 ) = ( ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ∨ℋ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) ) ∨ℋ if ( 𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶 , ℋ ) ) )
11		oveq2	⊢ ( 𝐶 = if ( 𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶 , ℋ ) → ( if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) ∨ℋ 𝐶 ) = ( if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) ∨ℋ if ( 𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶 , ℋ ) ) )
12	11	oveq2d	⊢ ( 𝐶 = if ( 𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶 , ℋ ) → ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ∨ℋ ( if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) ∨ℋ 𝐶 ) ) = ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ∨ℋ ( if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) ∨ℋ if ( 𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶 , ℋ ) ) ) )
13	10 12	eqeq12d	⊢ ( 𝐶 = if ( 𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶 , ℋ ) → ( ( ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ∨ℋ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) ) ∨ℋ 𝐶 ) = ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ∨ℋ ( if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) ∨ℋ 𝐶 ) ) ↔ ( ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ∨ℋ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) ) ∨ℋ if ( 𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶 , ℋ ) ) = ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ∨ℋ ( if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) ∨ℋ if ( 𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶 , ℋ ) ) ) ) )
14		ifchhv	⊢ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ∈ Cℋ
15		ifchhv	⊢ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) ∈ Cℋ
16		ifchhv	⊢ if ( 𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶 , ℋ ) ∈ Cℋ
17	14 15 16	chjassi	⊢ ( ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ∨ℋ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) ) ∨ℋ if ( 𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶 , ℋ ) ) = ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ∨ℋ ( if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) ∨ℋ if ( 𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶 , ℋ ) ) )
18	4 9 13 17	dedth3h	⊢ ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐶 ) = ( 𝐴 ∨ℋ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) )