Metamath Proof Explorer


Theorem chjass

Description: Associative law for Hilbert lattice join. From definition of lattice in Kalmbach p. 14. (Contributed by NM, 10-Jun-2004) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion chjass ( ( 𝐴C𝐵C𝐶C ) → ( ( 𝐴 𝐵 ) ∨ 𝐶 ) = ( 𝐴 ( 𝐵 𝐶 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 oveq1 ( 𝐴 = if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) → ( 𝐴 𝐵 ) = ( if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) ∨ 𝐵 ) )
2 1 oveq1d ( 𝐴 = if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) → ( ( 𝐴 𝐵 ) ∨ 𝐶 ) = ( ( if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) ∨ 𝐵 ) ∨ 𝐶 ) )
3 oveq1 ( 𝐴 = if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) → ( 𝐴 ( 𝐵 𝐶 ) ) = ( if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) ∨ ( 𝐵 𝐶 ) ) )
4 2 3 eqeq12d ( 𝐴 = if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) → ( ( ( 𝐴 𝐵 ) ∨ 𝐶 ) = ( 𝐴 ( 𝐵 𝐶 ) ) ↔ ( ( if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) ∨ 𝐵 ) ∨ 𝐶 ) = ( if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) ∨ ( 𝐵 𝐶 ) ) ) )
5 oveq2 ( 𝐵 = if ( 𝐵C , 𝐵 , ℋ ) → ( if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) ∨ 𝐵 ) = ( if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) ∨ if ( 𝐵C , 𝐵 , ℋ ) ) )
6 5 oveq1d ( 𝐵 = if ( 𝐵C , 𝐵 , ℋ ) → ( ( if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) ∨ 𝐵 ) ∨ 𝐶 ) = ( ( if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) ∨ if ( 𝐵C , 𝐵 , ℋ ) ) ∨ 𝐶 ) )
7 oveq1 ( 𝐵 = if ( 𝐵C , 𝐵 , ℋ ) → ( 𝐵 𝐶 ) = ( if ( 𝐵C , 𝐵 , ℋ ) ∨ 𝐶 ) )
8 7 oveq2d ( 𝐵 = if ( 𝐵C , 𝐵 , ℋ ) → ( if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) ∨ ( 𝐵 𝐶 ) ) = ( if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) ∨ ( if ( 𝐵C , 𝐵 , ℋ ) ∨ 𝐶 ) ) )
9 6 8 eqeq12d ( 𝐵 = if ( 𝐵C , 𝐵 , ℋ ) → ( ( ( if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) ∨ 𝐵 ) ∨ 𝐶 ) = ( if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) ∨ ( 𝐵 𝐶 ) ) ↔ ( ( if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) ∨ if ( 𝐵C , 𝐵 , ℋ ) ) ∨ 𝐶 ) = ( if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) ∨ ( if ( 𝐵C , 𝐵 , ℋ ) ∨ 𝐶 ) ) ) )
10 oveq2 ( 𝐶 = if ( 𝐶C , 𝐶 , ℋ ) → ( ( if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) ∨ if ( 𝐵C , 𝐵 , ℋ ) ) ∨ 𝐶 ) = ( ( if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) ∨ if ( 𝐵C , 𝐵 , ℋ ) ) ∨ if ( 𝐶C , 𝐶 , ℋ ) ) )
11 oveq2 ( 𝐶 = if ( 𝐶C , 𝐶 , ℋ ) → ( if ( 𝐵C , 𝐵 , ℋ ) ∨ 𝐶 ) = ( if ( 𝐵C , 𝐵 , ℋ ) ∨ if ( 𝐶C , 𝐶 , ℋ ) ) )
12 11 oveq2d ( 𝐶 = if ( 𝐶C , 𝐶 , ℋ ) → ( if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) ∨ ( if ( 𝐵C , 𝐵 , ℋ ) ∨ 𝐶 ) ) = ( if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) ∨ ( if ( 𝐵C , 𝐵 , ℋ ) ∨ if ( 𝐶C , 𝐶 , ℋ ) ) ) )
13 10 12 eqeq12d ( 𝐶 = if ( 𝐶C , 𝐶 , ℋ ) → ( ( ( if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) ∨ if ( 𝐵C , 𝐵 , ℋ ) ) ∨ 𝐶 ) = ( if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) ∨ ( if ( 𝐵C , 𝐵 , ℋ ) ∨ 𝐶 ) ) ↔ ( ( if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) ∨ if ( 𝐵C , 𝐵 , ℋ ) ) ∨ if ( 𝐶C , 𝐶 , ℋ ) ) = ( if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) ∨ ( if ( 𝐵C , 𝐵 , ℋ ) ∨ if ( 𝐶C , 𝐶 , ℋ ) ) ) ) )
14 ifchhv if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) ∈ C
15 ifchhv if ( 𝐵C , 𝐵 , ℋ ) ∈ C
16 ifchhv if ( 𝐶C , 𝐶 , ℋ ) ∈ C
17 14 15 16 chjassi ( ( if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) ∨ if ( 𝐵C , 𝐵 , ℋ ) ) ∨ if ( 𝐶C , 𝐶 , ℋ ) ) = ( if ( 𝐴C , 𝐴 , ℋ ) ∨ ( if ( 𝐵C , 𝐵 , ℋ ) ∨ if ( 𝐶C , 𝐶 , ℋ ) ) )
18 4 9 13 17 dedth3h ( ( 𝐴C𝐵C𝐶C ) → ( ( 𝐴 𝐵 ) ∨ 𝐶 ) = ( 𝐴 ( 𝐵 𝐶 ) ) )