Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) → ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) = ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ∨ℋ 𝐵 ) ) |
2 |
1
|
oveq1d |
⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) → ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐶 ) = ( ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ∨ℋ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐶 ) ) |
3 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) → ( 𝐴 ∨ℋ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) = ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ∨ℋ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) ) |
4 |
2 3
|
eqeq12d |
⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) → ( ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐶 ) = ( 𝐴 ∨ℋ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) ↔ ( ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ∨ℋ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐶 ) = ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ∨ℋ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) ) ) |
5 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) → ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ∨ℋ 𝐵 ) = ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ∨ℋ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) ) ) |
6 |
5
|
oveq1d |
⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) → ( ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ∨ℋ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐶 ) = ( ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ∨ℋ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) ) ∨ℋ 𝐶 ) ) |
7 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) → ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) = ( if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) ∨ℋ 𝐶 ) ) |
8 |
7
|
oveq2d |
⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) → ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ∨ℋ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) = ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ∨ℋ ( if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) ∨ℋ 𝐶 ) ) ) |
9 |
6 8
|
eqeq12d |
⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) → ( ( ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ∨ℋ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐶 ) = ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ∨ℋ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) ↔ ( ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ∨ℋ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) ) ∨ℋ 𝐶 ) = ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ∨ℋ ( if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) ∨ℋ 𝐶 ) ) ) ) |
10 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝐶 = if ( 𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶 , ℋ ) → ( ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ∨ℋ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) ) ∨ℋ 𝐶 ) = ( ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ∨ℋ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) ) ∨ℋ if ( 𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶 , ℋ ) ) ) |
11 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝐶 = if ( 𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶 , ℋ ) → ( if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) ∨ℋ 𝐶 ) = ( if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) ∨ℋ if ( 𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶 , ℋ ) ) ) |
12 |
11
|
oveq2d |
⊢ ( 𝐶 = if ( 𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶 , ℋ ) → ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ∨ℋ ( if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) ∨ℋ 𝐶 ) ) = ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ∨ℋ ( if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) ∨ℋ if ( 𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶 , ℋ ) ) ) ) |
13 |
10 12
|
eqeq12d |
⊢ ( 𝐶 = if ( 𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶 , ℋ ) → ( ( ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ∨ℋ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) ) ∨ℋ 𝐶 ) = ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ∨ℋ ( if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) ∨ℋ 𝐶 ) ) ↔ ( ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ∨ℋ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) ) ∨ℋ if ( 𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶 , ℋ ) ) = ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ∨ℋ ( if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) ∨ℋ if ( 𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶 , ℋ ) ) ) ) ) |
14 |
|
ifchhv |
⊢ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ∈ Cℋ |
15 |
|
ifchhv |
⊢ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) ∈ Cℋ |
16 |
|
ifchhv |
⊢ if ( 𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶 , ℋ ) ∈ Cℋ |
17 |
14 15 16
|
chjassi |
⊢ ( ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ∨ℋ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) ) ∨ℋ if ( 𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶 , ℋ ) ) = ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , ℋ ) ∨ℋ ( if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , ℋ ) ∨ℋ if ( 𝐶 ∈ Cℋ , 𝐶 , ℋ ) ) ) |
18 |
4 9 13 17
|
dedth3h |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ( ( 𝐴 ∨ℋ 𝐵 ) ∨ℋ 𝐶 ) = ( 𝐴 ∨ℋ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) ) |