Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cnnvm.6 |
โข ๐ = โจ โจ + , ยท โฉ , abs โฉ |
2 |
|
mulm1 |
โข ( ๐ฆ โ โ โ ( - 1 ยท ๐ฆ ) = - ๐ฆ ) |
3 |
2
|
adantl |
โข ( ( ๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ ) โ ( - 1 ยท ๐ฆ ) = - ๐ฆ ) |
4 |
3
|
oveq2d |
โข ( ( ๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ ) โ ( ๐ฅ + ( - 1 ยท ๐ฆ ) ) = ( ๐ฅ + - ๐ฆ ) ) |
5 |
|
negsub |
โข ( ( ๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ ) โ ( ๐ฅ + - ๐ฆ ) = ( ๐ฅ โ ๐ฆ ) ) |
6 |
4 5
|
eqtr2d |
โข ( ( ๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ ) โ ( ๐ฅ โ ๐ฆ ) = ( ๐ฅ + ( - 1 ยท ๐ฆ ) ) ) |
7 |
6
|
mpoeq3ia |
โข ( ๐ฅ โ โ , ๐ฆ โ โ โฆ ( ๐ฅ โ ๐ฆ ) ) = ( ๐ฅ โ โ , ๐ฆ โ โ โฆ ( ๐ฅ + ( - 1 ยท ๐ฆ ) ) ) |
8 |
|
subf |
โข โ : ( โ ร โ ) โถ โ |
9 |
|
ffn |
โข ( โ : ( โ ร โ ) โถ โ โ โ Fn ( โ ร โ ) ) |
10 |
8 9
|
ax-mp |
โข โ Fn ( โ ร โ ) |
11 |
|
fnov |
โข ( โ Fn ( โ ร โ ) โ โ = ( ๐ฅ โ โ , ๐ฆ โ โ โฆ ( ๐ฅ โ ๐ฆ ) ) ) |
12 |
10 11
|
mpbi |
โข โ = ( ๐ฅ โ โ , ๐ฆ โ โ โฆ ( ๐ฅ โ ๐ฆ ) ) |
13 |
1
|
cnnv |
โข ๐ โ NrmCVec |
14 |
1
|
cnnvba |
โข โ = ( BaseSet โ ๐ ) |
15 |
1
|
cnnvg |
โข + = ( +๐ฃ โ ๐ ) |
16 |
1
|
cnnvs |
โข ยท = ( ยท๐ OLD โ ๐ ) |
17 |
|
eqid |
โข ( โ๐ฃ โ ๐ ) = ( โ๐ฃ โ ๐ ) |
18 |
14 15 16 17
|
nvmfval |
โข ( ๐ โ NrmCVec โ ( โ๐ฃ โ ๐ ) = ( ๐ฅ โ โ , ๐ฆ โ โ โฆ ( ๐ฅ + ( - 1 ยท ๐ฆ ) ) ) ) |
19 |
13 18
|
ax-mp |
โข ( โ๐ฃ โ ๐ ) = ( ๐ฅ โ โ , ๐ฆ โ โ โฆ ( ๐ฅ + ( - 1 ยท ๐ฆ ) ) ) |
20 |
7 12 19
|
3eqtr4i |
โข โ = ( โ๐ฃ โ ๐ ) |