Theorem colcom

Description: Swapping the points defining a line keeps it unchanged. Part of Theorem 4.11 of Schwabhauser p. 34. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Apr-2019)

	Ref	Expression
Hypotheses	tglngval.p	⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 )
	tglngval.l	⊢ 𝐿 = ( LineG ‘ 𝐺 )
	tglngval.i	⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 )
	tglngval.g	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG )
	tglngval.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃 )
	tglngval.y	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃 )
	tgcolg.z	⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃 )
	colrot	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) ∨ 𝑋 = 𝑌 ) )
Assertion	colcom	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑍 ∈ ( 𝑌 𝐿 𝑋 ) ∨ 𝑌 = 𝑋 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglngval.p	⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 )
2		tglngval.l	⊢ 𝐿 = ( LineG ‘ 𝐺 )
3		tglngval.i	⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 )
4		tglngval.g	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG )
5		tglngval.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃 )
6		tglngval.y	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃 )
7		tgcolg.z	⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃 )
8		colrot	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) ∨ 𝑋 = 𝑌 ) )
9		3orcomb	⊢ ( ( 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ∨ 𝑋 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑌 ) ∨ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) ↔ ( 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ∨ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ∨ 𝑋 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑌 ) ) )
10		eqid	⊢ ( dist ‘ 𝐺 ) = ( dist ‘ 𝐺 )
11	1 10 3 4 5 7 6	tgbtwncomb	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ↔ 𝑍 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑋 ) ) )
12	1 10 3 4 5 6 7	tgbtwncomb	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ↔ 𝑌 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑋 ) ) )
13	1 10 3 4 7 5 6	tgbtwncomb	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑌 ) ↔ 𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) )
14	11 12 13	3orbi123d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ∨ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ∨ 𝑋 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑌 ) ) ↔ ( 𝑍 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑋 ) ∨ 𝑌 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑋 ) ∨ 𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) ) )
15	9 14	syl5bb	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ∨ 𝑋 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑌 ) ∨ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) ↔ ( 𝑍 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑋 ) ∨ 𝑌 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑋 ) ∨ 𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) ) )
16	1 2 3 4 5 6 7	tgcolg	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) ∨ 𝑋 = 𝑌 ) ↔ ( 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ∨ 𝑋 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑌 ) ∨ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) ) )
17	1 2 3 4 6 5 7	tgcolg	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑍 ∈ ( 𝑌 𝐿 𝑋 ) ∨ 𝑌 = 𝑋 ) ↔ ( 𝑍 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑋 ) ∨ 𝑌 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑋 ) ∨ 𝑋 ∈ ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) ) )
18	15 16 17	3bitr4d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) ∨ 𝑋 = 𝑌 ) ↔ ( 𝑍 ∈ ( 𝑌 𝐿 𝑋 ) ∨ 𝑌 = 𝑋 ) ) )
19	8 18	mpbid	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑍 ∈ ( 𝑌 𝐿 𝑋 ) ∨ 𝑌 = 𝑋 ) )