Theorem colinearalglem3

Description: Lemma for colinearalg . Translate between two forms of the colinearity condition. (Contributed by Scott Fenton, 24-Jun-2013)

	Ref	Expression
Assertion	colinearalglem3	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∀ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∀ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) · ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		colinearalglem2	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∀ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∀ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) · ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ) ) )
2		colinearalglem2	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∀ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) · ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ) ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∀ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) · ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) )
3	2	3comr	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∀ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) · ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) ) ) ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∀ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) · ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) )
4	1 3	bitrd	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∀ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ∀ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) · ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) )