Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
relin01 |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℝ → ( 𝐾 ≤ 0 ∨ ( 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1 ) ∨ 1 ≤ 𝐾 ) ) |
2 |
1
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) → ( 𝐾 ≤ 0 ∨ ( 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1 ) ∨ 1 ≤ 𝐾 ) ) |
3 |
|
fveere |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) |
4 |
3
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) |
5 |
|
fveere |
⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) |
6 |
5
|
adantll |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) |
7 |
4 6
|
jca |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ) |
8 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0 ) ) → 𝐾 ∈ ℝ ) |
9 |
8
|
recnd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0 ) ) → 𝐾 ∈ ℂ ) |
10 |
|
resubcl |
⊢ ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ℝ ) |
11 |
10
|
ancoms |
⊢ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ℝ ) |
12 |
11
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0 ) ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ℝ ) |
13 |
12
|
recnd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0 ) ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ℂ ) |
14 |
9 13 13
|
mulassd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0 ) ) → ( ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( 𝐾 · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) |
15 |
8 12
|
remulcld |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0 ) ) → ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ∈ ℝ ) |
16 |
15
|
recnd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0 ) ) → ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ∈ ℂ ) |
17 |
|
recn |
⊢ ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ → ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) |
18 |
17
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0 ) ) → ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) |
19 |
16 18
|
pncand |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0 ) ) → ( ( ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) + ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) = ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) |
20 |
19
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0 ) ) → ( ( ( ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) + ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) |
21 |
13
|
sqvald |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0 ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) = ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) |
22 |
21
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0 ) ) → ( 𝐾 · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) = ( 𝐾 · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) |
23 |
14 20 22
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0 ) ) → ( ( ( ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) + ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( 𝐾 · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
24 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0 ) ) → 𝐾 ≤ 0 ) |
25 |
12
|
sqge0d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0 ) ) → 0 ≤ ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) |
26 |
24 25
|
jca |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0 ) ) → ( 𝐾 ≤ 0 ∧ 0 ≤ ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
27 |
26
|
orcd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0 ) ) → ( ( 𝐾 ≤ 0 ∧ 0 ≤ ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) ∨ ( 0 ≤ 𝐾 ∧ ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ≤ 0 ) ) ) |
28 |
12
|
resqcld |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0 ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ∈ ℝ ) |
29 |
|
mulle0b |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ∈ ℝ ) → ( ( 𝐾 · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) ≤ 0 ↔ ( ( 𝐾 ≤ 0 ∧ 0 ≤ ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) ∨ ( 0 ≤ 𝐾 ∧ ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ≤ 0 ) ) ) ) |
30 |
8 28 29
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0 ) ) → ( ( 𝐾 · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) ≤ 0 ↔ ( ( 𝐾 ≤ 0 ∧ 0 ≤ ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) ∨ ( 0 ≤ 𝐾 ∧ ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ≤ 0 ) ) ) ) |
31 |
27 30
|
mpbird |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0 ) ) → ( 𝐾 · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) ≤ 0 ) |
32 |
23 31
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0 ) ) → ( ( ( ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) + ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ≤ 0 ) |
33 |
7 32
|
sylan |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0 ) ) → ( ( ( ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) + ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ≤ 0 ) |
34 |
33
|
an32s |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ( ( ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) + ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ≤ 0 ) |
35 |
34
|
ralrimiva |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 0 ) ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) + ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ≤ 0 ) |
36 |
35
|
expr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) → ( 𝐾 ≤ 0 → ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) + ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ≤ 0 ) ) |
37 |
|
recn |
⊢ ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ → ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) |
38 |
37
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ ( 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1 ) ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) |
39 |
17
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ ( 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1 ) ) ) → ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) |
40 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ ( 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1 ) ) ) → 𝐾 ∈ ℝ ) |
41 |
11
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ ( 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1 ) ) ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ℝ ) |
42 |
40 41
|
remulcld |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ ( 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1 ) ) ) → ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ∈ ℝ ) |
43 |
42
|
recnd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ ( 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1 ) ) ) → ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ∈ ℂ ) |
44 |
38 39 43
|
sub32d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ ( 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1 ) ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) − ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) |
45 |
|
ax-1cn |
⊢ 1 ∈ ℂ |
46 |
40
|
recnd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ ( 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1 ) ) ) → 𝐾 ∈ ℂ ) |
47 |
41
|
recnd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ ( 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1 ) ) ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ℂ ) |
48 |
|
subdir |
⊢ ( ( 1 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ℂ ) → ( ( 1 − 𝐾 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( ( 1 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) − ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) |
49 |
45 46 47 48
|
mp3an2i |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ ( 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1 ) ) ) → ( ( 1 − 𝐾 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( ( 1 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) − ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) |
50 |
47
|
mulid2d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ ( 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1 ) ) ) → ( 1 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) |
51 |
50
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ ( 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1 ) ) ) → ( ( 1 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) − ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) = ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) − ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) |
52 |
49 51
|
eqtr2d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ ( 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1 ) ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) − ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) = ( ( 1 − 𝐾 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) |
53 |
38 43 39
|
subsub4d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ ( 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1 ) ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) = ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) + ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) |
54 |
44 52 53
|
3eqtr3rd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ ( 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1 ) ) ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) + ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( ( 1 − 𝐾 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) |
55 |
39 39 43
|
sub32d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ ( 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1 ) ) ) → ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) − ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) = ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) |
56 |
39
|
subidd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ ( 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1 ) ) ) → ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) = 0 ) |
57 |
56
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ ( 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1 ) ) ) → ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) − ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) = ( 0 − ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) |
58 |
|
df-neg |
⊢ - ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( 0 − ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) |
59 |
57 58
|
eqtr4di |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ ( 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1 ) ) ) → ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) − ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) = - ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) |
60 |
39 43 39
|
subsub4d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ ( 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1 ) ) ) → ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) = ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) + ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) |
61 |
55 59 60
|
3eqtr3rd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ ( 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1 ) ) ) → ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) + ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) = - ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) |
62 |
54 61
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ ( 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1 ) ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) + ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) · ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) + ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) = ( ( ( 1 − 𝐾 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) · - ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) |
63 |
|
1re |
⊢ 1 ∈ ℝ |
64 |
|
resubcl |
⊢ ( ( 1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) → ( 1 − 𝐾 ) ∈ ℝ ) |
65 |
63 64
|
mpan |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℝ → ( 1 − 𝐾 ) ∈ ℝ ) |
66 |
65
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ ( 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1 ) ) ) → ( 1 − 𝐾 ) ∈ ℝ ) |
67 |
66 41
|
remulcld |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ ( 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1 ) ) ) → ( ( 1 − 𝐾 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ∈ ℝ ) |
68 |
67
|
recnd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ ( 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1 ) ) ) → ( ( 1 − 𝐾 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ∈ ℂ ) |
69 |
68 43
|
mulneg2d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ ( 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1 ) ) ) → ( ( ( 1 − 𝐾 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) · - ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) = - ( ( ( 1 − 𝐾 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) · ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) |
70 |
66
|
recnd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ ( 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1 ) ) ) → ( 1 − 𝐾 ) ∈ ℂ ) |
71 |
70 47 46 47
|
mul4d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ ( 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1 ) ) ) → ( ( ( 1 − 𝐾 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) · ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) = ( ( ( 1 − 𝐾 ) · 𝐾 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) |
72 |
71
|
negeqd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ ( 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1 ) ) ) → - ( ( ( 1 − 𝐾 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) · ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) = - ( ( ( 1 − 𝐾 ) · 𝐾 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) |
73 |
62 69 72
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ ( 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1 ) ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) + ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) · ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) + ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) = - ( ( ( 1 − 𝐾 ) · 𝐾 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) |
74 |
66 40
|
remulcld |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ ( 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1 ) ) ) → ( ( 1 − 𝐾 ) · 𝐾 ) ∈ ℝ ) |
75 |
41
|
resqcld |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ ( 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1 ) ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ∈ ℝ ) |
76 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ ( 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1 ) ) → 𝐾 ∈ ℝ ) |
77 |
63 76 64
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ ( 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1 ) ) → ( 1 − 𝐾 ) ∈ ℝ ) |
78 |
|
subge0 |
⊢ ( ( 1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) → ( 0 ≤ ( 1 − 𝐾 ) ↔ 𝐾 ≤ 1 ) ) |
79 |
63 78
|
mpan |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℝ → ( 0 ≤ ( 1 − 𝐾 ) ↔ 𝐾 ≤ 1 ) ) |
80 |
79
|
biimpar |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 1 ) → 0 ≤ ( 1 − 𝐾 ) ) |
81 |
80
|
adantrl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ ( 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1 ) ) → 0 ≤ ( 1 − 𝐾 ) ) |
82 |
|
simprl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ ( 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1 ) ) → 0 ≤ 𝐾 ) |
83 |
77 76 81 82
|
mulge0d |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ ( 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1 ) ) → 0 ≤ ( ( 1 − 𝐾 ) · 𝐾 ) ) |
84 |
83
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ ( 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1 ) ) ) → 0 ≤ ( ( 1 − 𝐾 ) · 𝐾 ) ) |
85 |
41
|
sqge0d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ ( 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1 ) ) ) → 0 ≤ ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) |
86 |
74 75 84 85
|
mulge0d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ ( 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1 ) ) ) → 0 ≤ ( ( ( 1 − 𝐾 ) · 𝐾 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
87 |
47
|
sqvald |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ ( 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1 ) ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) = ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) |
88 |
87
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ ( 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1 ) ) ) → ( ( ( 1 − 𝐾 ) · 𝐾 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) = ( ( ( 1 − 𝐾 ) · 𝐾 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) |
89 |
86 88
|
breqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ ( 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1 ) ) ) → 0 ≤ ( ( ( 1 − 𝐾 ) · 𝐾 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) |
90 |
41 41
|
remulcld |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ ( 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1 ) ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ∈ ℝ ) |
91 |
74 90
|
remulcld |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ ( 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1 ) ) ) → ( ( ( 1 − 𝐾 ) · 𝐾 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
92 |
91
|
le0neg2d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ ( 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1 ) ) ) → ( 0 ≤ ( ( ( 1 − 𝐾 ) · 𝐾 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ↔ - ( ( ( 1 − 𝐾 ) · 𝐾 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ≤ 0 ) ) |
93 |
89 92
|
mpbid |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ ( 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1 ) ) ) → - ( ( ( 1 − 𝐾 ) · 𝐾 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ≤ 0 ) |
94 |
73 93
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ ( 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1 ) ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) + ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) · ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) + ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ≤ 0 ) |
95 |
7 94
|
sylan |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ ( 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1 ) ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) + ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) · ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) + ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ≤ 0 ) |
96 |
95
|
an32s |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ ( 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1 ) ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) + ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) · ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) + ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ≤ 0 ) |
97 |
96
|
ralrimiva |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ ( 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1 ) ) ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) + ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) · ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) + ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ≤ 0 ) |
98 |
97
|
expr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) → ( ( 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1 ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) + ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) · ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) + ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ≤ 0 ) ) |
99 |
37
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) |
100 |
17
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾 ) ) → ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℂ ) |
101 |
99 100
|
negsubdi2d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾 ) ) → - ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) = ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) |
102 |
101
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾 ) ) → ( - ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐾 − 1 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) = ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐾 − 1 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) |
103 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) |
104 |
|
simpll |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾 ) ) → ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) |
105 |
103 104 10
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾 ) ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ℝ ) |
106 |
105
|
recnd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾 ) ) → ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ℂ ) |
107 |
|
peano2rem |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℝ → ( 𝐾 − 1 ) ∈ ℝ ) |
108 |
107
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾 ) ) → ( 𝐾 − 1 ) ∈ ℝ ) |
109 |
108 105
|
remulcld |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾 ) ) → ( ( 𝐾 − 1 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ∈ ℝ ) |
110 |
109
|
recnd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾 ) ) → ( ( 𝐾 − 1 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ∈ ℂ ) |
111 |
106 110
|
mulneg1d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾 ) ) → ( - ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐾 − 1 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) = - ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐾 − 1 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) |
112 |
108
|
recnd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾 ) ) → ( 𝐾 − 1 ) ∈ ℂ ) |
113 |
106 112 106
|
mul12d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾 ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐾 − 1 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) = ( ( 𝐾 − 1 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) |
114 |
106
|
sqvald |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾 ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) = ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) |
115 |
114
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾 ) ) → ( ( 𝐾 − 1 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) = ( ( 𝐾 − 1 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) |
116 |
113 115
|
eqtr4d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾 ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐾 − 1 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) = ( ( 𝐾 − 1 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
117 |
116
|
negeqd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾 ) ) → - ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐾 − 1 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) = - ( ( 𝐾 − 1 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
118 |
111 117
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾 ) ) → ( - ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐾 − 1 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) = - ( ( 𝐾 − 1 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
119 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾 ) ) → 𝐾 ∈ ℝ ) |
120 |
119
|
recnd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾 ) ) → 𝐾 ∈ ℂ ) |
121 |
|
subdir |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ℂ ) → ( ( 𝐾 − 1 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) − ( 1 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) |
122 |
45 121
|
mp3an2 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℂ ∧ ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ∈ ℂ ) → ( ( 𝐾 − 1 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) − ( 1 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) |
123 |
120 106 122
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾 ) ) → ( ( 𝐾 − 1 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) − ( 1 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) |
124 |
106
|
mulid2d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾 ) ) → ( 1 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) |
125 |
124
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾 ) ) → ( ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) − ( 1 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) = ( ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) |
126 |
119 105
|
remulcld |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾 ) ) → ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ∈ ℝ ) |
127 |
126
|
recnd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾 ) ) → ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ∈ ℂ ) |
128 |
127 99 100
|
subsub3d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾 ) ) → ( ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( ( ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) + ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) |
129 |
123 125 128
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾 ) ) → ( ( 𝐾 − 1 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( ( ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) + ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) |
130 |
129
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾 ) ) → ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐾 − 1 ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) = ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) + ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) |
131 |
102 118 130
|
3eqtr3rd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾 ) ) → ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) + ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) = - ( ( 𝐾 − 1 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
132 |
105
|
resqcld |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾 ) ) → ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ∈ ℝ ) |
133 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾 ) ) → 1 ≤ 𝐾 ) |
134 |
|
subge0 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ) → ( 0 ≤ ( 𝐾 − 1 ) ↔ 1 ≤ 𝐾 ) ) |
135 |
63 134
|
mpan2 |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℝ → ( 0 ≤ ( 𝐾 − 1 ) ↔ 1 ≤ 𝐾 ) ) |
136 |
135
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾 ) ) → ( 0 ≤ ( 𝐾 − 1 ) ↔ 1 ≤ 𝐾 ) ) |
137 |
133 136
|
mpbird |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾 ) ) → 0 ≤ ( 𝐾 − 1 ) ) |
138 |
105
|
sqge0d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾 ) ) → 0 ≤ ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) |
139 |
108 132 137 138
|
mulge0d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾 ) ) → 0 ≤ ( ( 𝐾 − 1 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
140 |
108 132
|
remulcld |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾 ) ) → ( ( 𝐾 − 1 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) ∈ ℝ ) |
141 |
140
|
le0neg2d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾 ) ) → ( 0 ≤ ( ( 𝐾 − 1 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) ↔ - ( ( 𝐾 − 1 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) ≤ 0 ) ) |
142 |
139 141
|
mpbid |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾 ) ) → - ( ( 𝐾 − 1 ) · ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) ≤ 0 ) |
143 |
131 142
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾 ) ) → ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) + ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ≤ 0 ) |
144 |
7 143
|
sylan |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾 ) ) → ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) + ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ≤ 0 ) |
145 |
144
|
an32s |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾 ) ) ∧ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) + ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ≤ 0 ) |
146 |
145
|
ralrimiva |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐾 ) ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) + ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ≤ 0 ) |
147 |
146
|
expr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) → ( 1 ≤ 𝐾 → ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) + ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ≤ 0 ) ) |
148 |
36 98 147
|
3orim123d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐾 ≤ 0 ∨ ( 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 1 ) ∨ 1 ≤ 𝐾 ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) + ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ≤ 0 ∨ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) + ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) · ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) + ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ≤ 0 ∨ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) + ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ≤ 0 ) ) ) |
149 |
2 148
|
mpd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) + ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ≤ 0 ∨ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) + ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) · ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) − ( ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) + ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ≤ 0 ∨ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) · ( ( ( 𝐾 · ( ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) − ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) ) + ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) − ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ≤ 0 ) ) |