Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
subdi |
โข ( ( ๐ถ โ โ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โ ( ๐ถ ยท ( ๐ด โ ๐ต ) ) = ( ( ๐ถ ยท ๐ด ) โ ( ๐ถ ยท ๐ต ) ) ) |
2 |
1
|
3coml |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ ) โ ( ๐ถ ยท ( ๐ด โ ๐ต ) ) = ( ( ๐ถ ยท ๐ด ) โ ( ๐ถ ยท ๐ต ) ) ) |
3 |
|
subcl |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โ ( ๐ด โ ๐ต ) โ โ ) |
4 |
|
mulcom |
โข ( ( ( ๐ด โ ๐ต ) โ โ โง ๐ถ โ โ ) โ ( ( ๐ด โ ๐ต ) ยท ๐ถ ) = ( ๐ถ ยท ( ๐ด โ ๐ต ) ) ) |
5 |
3 4
|
stoic3 |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ ) โ ( ( ๐ด โ ๐ต ) ยท ๐ถ ) = ( ๐ถ ยท ( ๐ด โ ๐ต ) ) ) |
6 |
|
mulcom |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ถ โ โ ) โ ( ๐ด ยท ๐ถ ) = ( ๐ถ ยท ๐ด ) ) |
7 |
6
|
3adant2 |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ ) โ ( ๐ด ยท ๐ถ ) = ( ๐ถ ยท ๐ด ) ) |
8 |
|
mulcom |
โข ( ( ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ ) โ ( ๐ต ยท ๐ถ ) = ( ๐ถ ยท ๐ต ) ) |
9 |
8
|
3adant1 |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ ) โ ( ๐ต ยท ๐ถ ) = ( ๐ถ ยท ๐ต ) ) |
10 |
7 9
|
oveq12d |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ ) โ ( ( ๐ด ยท ๐ถ ) โ ( ๐ต ยท ๐ถ ) ) = ( ( ๐ถ ยท ๐ด ) โ ( ๐ถ ยท ๐ต ) ) ) |
11 |
2 5 10
|
3eqtr4d |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ ) โ ( ( ๐ด โ ๐ต ) ยท ๐ถ ) = ( ( ๐ด ยท ๐ถ ) โ ( ๐ต ยท ๐ถ ) ) ) |