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Theorem connsub

Description: Two equivalent ways of saying that a subspace topology is connected. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Jul-2009) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Mar-2015)

Ref Expression
Assertion connsub ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑆𝑋 ) → ( ( 𝐽t 𝑆 ) ∈ Conn ↔ ∀ 𝑥𝐽𝑦𝐽 ( ( ( 𝑥𝑆 ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦𝑆 ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑥𝑦 ) ⊆ ( 𝑋𝑆 ) ) → ¬ 𝑆 ⊆ ( 𝑥𝑦 ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 connsuba ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑆𝑋 ) → ( ( 𝐽t 𝑆 ) ∈ Conn ↔ ∀ 𝑥𝐽𝑦𝐽 ( ( ( 𝑥𝑆 ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦𝑆 ) ≠ ∅ ∧ ( ( 𝑥𝑦 ) ∩ 𝑆 ) = ∅ ) → ( ( 𝑥𝑦 ) ∩ 𝑆 ) ≠ 𝑆 ) ) )
2 inss1 ( 𝑥𝑦 ) ⊆ 𝑥
3 toponss ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑥𝐽 ) → 𝑥𝑋 )
4 3 ad2ant2r ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑆𝑋 ) ∧ ( 𝑥𝐽𝑦𝐽 ) ) → 𝑥𝑋 )
5 2 4 sstrid ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑆𝑋 ) ∧ ( 𝑥𝐽𝑦𝐽 ) ) → ( 𝑥𝑦 ) ⊆ 𝑋 )
6 reldisj ( ( 𝑥𝑦 ) ⊆ 𝑋 → ( ( ( 𝑥𝑦 ) ∩ 𝑆 ) = ∅ ↔ ( 𝑥𝑦 ) ⊆ ( 𝑋𝑆 ) ) )
7 5 6 syl ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑆𝑋 ) ∧ ( 𝑥𝐽𝑦𝐽 ) ) → ( ( ( 𝑥𝑦 ) ∩ 𝑆 ) = ∅ ↔ ( 𝑥𝑦 ) ⊆ ( 𝑋𝑆 ) ) )
8 7 3anbi3d ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑆𝑋 ) ∧ ( 𝑥𝐽𝑦𝐽 ) ) → ( ( ( 𝑥𝑆 ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦𝑆 ) ≠ ∅ ∧ ( ( 𝑥𝑦 ) ∩ 𝑆 ) = ∅ ) ↔ ( ( 𝑥𝑆 ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦𝑆 ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑥𝑦 ) ⊆ ( 𝑋𝑆 ) ) ) )
9 sseqin2 ( 𝑆 ⊆ ( 𝑥𝑦 ) ↔ ( ( 𝑥𝑦 ) ∩ 𝑆 ) = 𝑆 )
10 9 a1i ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑆𝑋 ) ∧ ( 𝑥𝐽𝑦𝐽 ) ) → ( 𝑆 ⊆ ( 𝑥𝑦 ) ↔ ( ( 𝑥𝑦 ) ∩ 𝑆 ) = 𝑆 ) )
11 10 bicomd ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑆𝑋 ) ∧ ( 𝑥𝐽𝑦𝐽 ) ) → ( ( ( 𝑥𝑦 ) ∩ 𝑆 ) = 𝑆𝑆 ⊆ ( 𝑥𝑦 ) ) )
12 11 necon3abid ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑆𝑋 ) ∧ ( 𝑥𝐽𝑦𝐽 ) ) → ( ( ( 𝑥𝑦 ) ∩ 𝑆 ) ≠ 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ⊆ ( 𝑥𝑦 ) ) )
13 8 12 imbi12d ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑆𝑋 ) ∧ ( 𝑥𝐽𝑦𝐽 ) ) → ( ( ( ( 𝑥𝑆 ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦𝑆 ) ≠ ∅ ∧ ( ( 𝑥𝑦 ) ∩ 𝑆 ) = ∅ ) → ( ( 𝑥𝑦 ) ∩ 𝑆 ) ≠ 𝑆 ) ↔ ( ( ( 𝑥𝑆 ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦𝑆 ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑥𝑦 ) ⊆ ( 𝑋𝑆 ) ) → ¬ 𝑆 ⊆ ( 𝑥𝑦 ) ) ) )
14 13 2ralbidva ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑆𝑋 ) → ( ∀ 𝑥𝐽𝑦𝐽 ( ( ( 𝑥𝑆 ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦𝑆 ) ≠ ∅ ∧ ( ( 𝑥𝑦 ) ∩ 𝑆 ) = ∅ ) → ( ( 𝑥𝑦 ) ∩ 𝑆 ) ≠ 𝑆 ) ↔ ∀ 𝑥𝐽𝑦𝐽 ( ( ( 𝑥𝑆 ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦𝑆 ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑥𝑦 ) ⊆ ( 𝑋𝑆 ) ) → ¬ 𝑆 ⊆ ( 𝑥𝑦 ) ) ) )
15 1 14 bitrd ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑆𝑋 ) → ( ( 𝐽t 𝑆 ) ∈ Conn ↔ ∀ 𝑥𝐽𝑦𝐽 ( ( ( 𝑥𝑆 ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦𝑆 ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑥𝑦 ) ⊆ ( 𝑋𝑆 ) ) → ¬ 𝑆 ⊆ ( 𝑥𝑦 ) ) ) )