Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
connsuba |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ) → ( ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ∈ Conn ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝐽 ∀ 𝑦 ∈ 𝐽 ( ( ( 𝑥 ∩ 𝑆 ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦 ∩ 𝑆 ) ≠ ∅ ∧ ( ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∩ 𝑆 ) = ∅ ) → ( ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) ∩ 𝑆 ) ≠ 𝑆 ) ) ) |
2 |
|
inss1 |
⊢ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ 𝑥 |
3 |
|
toponss |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽 ) → 𝑥 ⊆ 𝑋 ) |
4 |
3
|
ad2ant2r |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) ) → 𝑥 ⊆ 𝑋 ) |
5 |
2 4
|
sstrid |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) ) → ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ 𝑋 ) |
6 |
|
reldisj |
⊢ ( ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ 𝑋 → ( ( ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∩ 𝑆 ) = ∅ ↔ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) ) |
7 |
5 6
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) ) → ( ( ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∩ 𝑆 ) = ∅ ↔ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) ) |
8 |
7
|
3anbi3d |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) ) → ( ( ( 𝑥 ∩ 𝑆 ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦 ∩ 𝑆 ) ≠ ∅ ∧ ( ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∩ 𝑆 ) = ∅ ) ↔ ( ( 𝑥 ∩ 𝑆 ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦 ∩ 𝑆 ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) ) ) |
9 |
|
sseqin2 |
⊢ ( 𝑆 ⊆ ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) ↔ ( ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) ∩ 𝑆 ) = 𝑆 ) |
10 |
9
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) ) → ( 𝑆 ⊆ ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) ↔ ( ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) ∩ 𝑆 ) = 𝑆 ) ) |
11 |
10
|
bicomd |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) ) → ( ( ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) ∩ 𝑆 ) = 𝑆 ↔ 𝑆 ⊆ ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) ) ) |
12 |
11
|
necon3abid |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) ) → ( ( ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) ∩ 𝑆 ) ≠ 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ⊆ ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) ) ) |
13 |
8 12
|
imbi12d |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) ) → ( ( ( ( 𝑥 ∩ 𝑆 ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦 ∩ 𝑆 ) ≠ ∅ ∧ ( ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∩ 𝑆 ) = ∅ ) → ( ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) ∩ 𝑆 ) ≠ 𝑆 ) ↔ ( ( ( 𝑥 ∩ 𝑆 ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦 ∩ 𝑆 ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) → ¬ 𝑆 ⊆ ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) ) ) ) |
14 |
13
|
2ralbidva |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ) → ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐽 ∀ 𝑦 ∈ 𝐽 ( ( ( 𝑥 ∩ 𝑆 ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦 ∩ 𝑆 ) ≠ ∅ ∧ ( ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∩ 𝑆 ) = ∅ ) → ( ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) ∩ 𝑆 ) ≠ 𝑆 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝐽 ∀ 𝑦 ∈ 𝐽 ( ( ( 𝑥 ∩ 𝑆 ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦 ∩ 𝑆 ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) → ¬ 𝑆 ⊆ ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) ) ) ) |
15 |
1 14
|
bitrd |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ) → ( ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ∈ Conn ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝐽 ∀ 𝑦 ∈ 𝐽 ( ( ( 𝑥 ∩ 𝑆 ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦 ∩ 𝑆 ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ 𝑆 ) ) → ¬ 𝑆 ⊆ ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) ) ) ) |