Theorem crosspv1d

Description: Value of the first component of the cross product. (Contributed by Jiamin Zhao, 12-Aug-2026)

	Ref	Expression
Hypotheses	crosspd.1	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ( ℝ ↑m ( 1 ... 3 ) ) )
	crosspd.2	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ( ℝ ↑m ( 1 ... 3 ) ) )
Assertion	crosspv1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 ⊠ 𝐵 ) ‘ 1 ) = ( ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crosspd.1	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ( ℝ ↑m ( 1 ... 3 ) ) )
2		crosspd.2	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ( ℝ ↑m ( 1 ... 3 ) ) )
3		iftrue	⊢ ( 𝑘 = 1 → if ( 𝑘 = 1 , ( ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) ) , if ( 𝑘 = 2 , ( ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) ) , ( ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) ) )
4		crosspval	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℝ ↑m ( 1 ... 3 ) ) ∧ 𝐵 ∈ ( ℝ ↑m ( 1 ... 3 ) ) ) → ( 𝐴 ⊠ 𝐵 ) = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 3 ) ↦ if ( 𝑘 = 1 , ( ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) ) , if ( 𝑘 = 2 , ( ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) ) , ( ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) ) ) ) ) )
5	1 2 4	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ⊠ 𝐵 ) = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 3 ) ↦ if ( 𝑘 = 1 , ( ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) ) , if ( 𝑘 = 2 , ( ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) ) , ( ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) ) ) ) ) )
6		1elfz13	⊢ 1 ∈ ( 1 ... 3 )
7	6	a1i	⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ( 1 ... 3 ) )
8	1 2	crosspcle1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) ) ∈ ℝ )
9	3 5 7 8	fvmptd4	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 ⊠ 𝐵 ) ‘ 1 ) = ( ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) ) )