Theorem crosspv2d

Description: Value of the second component of the cross product. (Contributed by Jiamin Zhao, 12-Aug-2026)

	Ref	Expression
Hypotheses	crosspd.1	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ( ℝ ↑m ( 1 ... 3 ) ) )
	crosspd.2	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ( ℝ ↑m ( 1 ... 3 ) ) )
Assertion	crosspv2d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 ⊠ 𝐵 ) ‘ 2 ) = ( ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crosspd.1	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ( ℝ ↑m ( 1 ... 3 ) ) )
2		crosspd.2	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ( ℝ ↑m ( 1 ... 3 ) ) )
3		id	⊢ ( 𝑘 = 1 → 𝑘 = 1 )
4		1ne2	⊢ 1 ≠ 2
5	4	a1i	⊢ ( 𝑘 = 1 → 1 ≠ 2 )
6	3 5	eqnetrd	⊢ ( 𝑘 = 1 → 𝑘 ≠ 2 )
7	6	necon2bi	⊢ ( 𝑘 = 2 → ¬ 𝑘 = 1 )
8	7	iffalsed	⊢ ( 𝑘 = 2 → if ( 𝑘 = 1 , ( ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) ) , if ( 𝑘 = 2 , ( ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) ) , ( ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) ) ) ) = if ( 𝑘 = 2 , ( ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) ) , ( ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) ) ) )
9		iftrue	⊢ ( 𝑘 = 2 → if ( 𝑘 = 2 , ( ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) ) , ( ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) ) ) = ( ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) ) )
10	8 9	eqtrd	⊢ ( 𝑘 = 2 → if ( 𝑘 = 1 , ( ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) ) , if ( 𝑘 = 2 , ( ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) ) , ( ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) ) )
11		crosspval	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℝ ↑m ( 1 ... 3 ) ) ∧ 𝐵 ∈ ( ℝ ↑m ( 1 ... 3 ) ) ) → ( 𝐴 ⊠ 𝐵 ) = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 3 ) ↦ if ( 𝑘 = 1 , ( ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) ) , if ( 𝑘 = 2 , ( ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) ) , ( ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) ) ) ) ) )
12	1 2 11	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ⊠ 𝐵 ) = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 3 ) ↦ if ( 𝑘 = 1 , ( ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) ) , if ( 𝑘 = 2 , ( ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) ) , ( ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) ) ) ) ) )
13		2elfz13	⊢ 2 ∈ ( 1 ... 3 )
14	13	a1i	⊢ ( 𝜑 → 2 ∈ ( 1 ... 3 ) )
15	1 2	crosspcle2d	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) ) ∈ ℝ )
16	10 12 14 15	fvmptd4	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 ⊠ 𝐵 ) ‘ 2 ) = ( ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) ) )