Theorem crosspv3d

Description: Value of the third component of the cross product. (Contributed by Jiamin Zhao, 12-Aug-2026)

	Ref	Expression
Hypotheses	crosspd.1	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ( ℝ ↑m ( 1 ... 3 ) ) )
	crosspd.2	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ( ℝ ↑m ( 1 ... 3 ) ) )
Assertion	crosspv3d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 ⊠ 𝐵 ) ‘ 3 ) = ( ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crosspd.1	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ( ℝ ↑m ( 1 ... 3 ) ) )
2		crosspd.2	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ( ℝ ↑m ( 1 ... 3 ) ) )
3		id	⊢ ( 𝑘 = 1 → 𝑘 = 1 )
4		1ne3	⊢ 1 ≠ 3
5	4	a1i	⊢ ( 𝑘 = 1 → 1 ≠ 3 )
6	3 5	eqnetrd	⊢ ( 𝑘 = 1 → 𝑘 ≠ 3 )
7	6	necon2bi	⊢ ( 𝑘 = 3 → ¬ 𝑘 = 1 )
8	7	iffalsed	⊢ ( 𝑘 = 3 → if ( 𝑘 = 1 , ( ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) ) , if ( 𝑘 = 2 , ( ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) ) , ( ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) ) ) ) = if ( 𝑘 = 2 , ( ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) ) , ( ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) ) ) )
9		id	⊢ ( 𝑘 = 2 → 𝑘 = 2 )
10		2ne3	⊢ 2 ≠ 3
11	10	a1i	⊢ ( 𝑘 = 2 → 2 ≠ 3 )
12	9 11	eqnetrd	⊢ ( 𝑘 = 2 → 𝑘 ≠ 3 )
13	12	necon2bi	⊢ ( 𝑘 = 3 → ¬ 𝑘 = 2 )
14	13	iffalsed	⊢ ( 𝑘 = 3 → if ( 𝑘 = 2 , ( ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) ) , ( ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) ) ) = ( ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) ) )
15	8 14	eqtrd	⊢ ( 𝑘 = 3 → if ( 𝑘 = 1 , ( ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) ) , if ( 𝑘 = 2 , ( ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) ) , ( ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) ) )
16		crosspval	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℝ ↑m ( 1 ... 3 ) ) ∧ 𝐵 ∈ ( ℝ ↑m ( 1 ... 3 ) ) ) → ( 𝐴 ⊠ 𝐵 ) = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 3 ) ↦ if ( 𝑘 = 1 , ( ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) ) , if ( 𝑘 = 2 , ( ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) ) , ( ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) ) ) ) ) )
17	1 2 16	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ⊠ 𝐵 ) = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 3 ) ↦ if ( 𝑘 = 1 , ( ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) ) , if ( 𝑘 = 2 , ( ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) ) , ( ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) ) ) ) ) )
18		3elfz13	⊢ 3 ∈ ( 1 ... 3 )
19	18	a1i	⊢ ( 𝜑 → 3 ∈ ( 1 ... 3 ) )
20	1 2	crosspcle3d	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) ) ∈ ℝ )
21	15 17 19 20	fvmptd4	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 ⊠ 𝐵 ) ‘ 3 ) = ( ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) ) )