Theorem crosspv2i

Description: Value of the second component of the cross product. (Contributed by Jiamin Zhao, 31-Jul-2026)

	Ref	Expression
Hypotheses	crossp.1	⊢ 𝐴 ∈ ( ℝ ↑m ( 1 ... 3 ) )
	crossp.2	⊢ 𝐵 ∈ ( ℝ ↑m ( 1 ... 3 ) )
Assertion	crosspv2i	⊢ ( ( 𝐴 ⊠ 𝐵 ) ‘ 2 ) = ( ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crossp.1	⊢ 𝐴 ∈ ( ℝ ↑m ( 1 ... 3 ) )
2		crossp.2	⊢ 𝐵 ∈ ( ℝ ↑m ( 1 ... 3 ) )
3		crosspval	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℝ ↑m ( 1 ... 3 ) ) ∧ 𝐵 ∈ ( ℝ ↑m ( 1 ... 3 ) ) ) → ( 𝐴 ⊠ 𝐵 ) = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 3 ) ↦ if ( 𝑘 = 1 , ( ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) ) , if ( 𝑘 = 2 , ( ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) ) , ( ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) ) ) ) ) )
4	1 2 3	mp2an	⊢ ( 𝐴 ⊠ 𝐵 ) = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 3 ) ↦ if ( 𝑘 = 1 , ( ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) ) , if ( 𝑘 = 2 , ( ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) ) , ( ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) ) ) ) )
5	4	fveq1i	⊢ ( ( 𝐴 ⊠ 𝐵 ) ‘ 2 ) = ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 3 ) ↦ if ( 𝑘 = 1 , ( ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) ) , if ( 𝑘 = 2 , ( ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) ) , ( ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 2 )
6		2elfz13	⊢ 2 ∈ ( 1 ... 3 )
7	1 2	crosspcle2i	⊢ ( ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) ) ∈ ℝ
8		id	⊢ ( 𝑘 = 1 → 𝑘 = 1 )
9		1ne2	⊢ 1 ≠ 2
10	9	a1i	⊢ ( 𝑘 = 1 → 1 ≠ 2 )
11	8 10	eqnetrd	⊢ ( 𝑘 = 1 → 𝑘 ≠ 2 )
12	11	necon2bi	⊢ ( 𝑘 = 2 → ¬ 𝑘 = 1 )
13	12	iffalsed	⊢ ( 𝑘 = 2 → if ( 𝑘 = 1 , ( ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) ) , if ( 𝑘 = 2 , ( ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) ) , ( ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) ) ) ) = if ( 𝑘 = 2 , ( ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) ) , ( ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) ) ) )
14		iftrue	⊢ ( 𝑘 = 2 → if ( 𝑘 = 2 , ( ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) ) , ( ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) ) ) = ( ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) ) )
15	13 14	eqtrd	⊢ ( 𝑘 = 2 → if ( 𝑘 = 1 , ( ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) ) , if ( 𝑘 = 2 , ( ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) ) , ( ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) ) )
16		eqid	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 3 ) ↦ if ( 𝑘 = 1 , ( ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) ) , if ( 𝑘 = 2 , ( ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) ) , ( ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 3 ) ↦ if ( 𝑘 = 1 , ( ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) ) , if ( 𝑘 = 2 , ( ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) ) , ( ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) ) ) ) )
17	15 16	fvmptg	⊢ ( ( 2 ∈ ( 1 ... 3 ) ∧ ( ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) ) ∈ ℝ ) → ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 3 ) ↦ if ( 𝑘 = 1 , ( ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) ) , if ( 𝑘 = 2 , ( ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) ) , ( ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 2 ) = ( ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) ) )
18	6 7 17	mp2an	⊢ ( ( 𝑘 ∈ ( 1 ... 3 ) ↦ if ( 𝑘 = 1 , ( ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) ) , if ( 𝑘 = 2 , ( ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) ) , ( ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) ) ) ) ) ‘ 2 ) = ( ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) )
19	5 18	eqtri	⊢ ( ( 𝐴 ⊠ 𝐵 ) ‘ 2 ) = ( ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) )