Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cvlsupr5.a |
⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 ) |
2 |
|
cvlsupr5.j |
⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 ) |
3 |
|
eqid |
⊢ ( le ‘ 𝐾 ) = ( le ‘ 𝐾 ) |
4 |
1 3 2
|
cvlsupr2 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ↔ ( 𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) ) |
5 |
|
simp1 |
⊢ ( ( 𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≠ 𝑄 ∧ 𝑅 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) → 𝑅 ≠ 𝑃 ) |
6 |
4 5
|
syl6bi |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) → 𝑅 ≠ 𝑃 ) ) |
7 |
6
|
3exp |
⊢ ( 𝐾 ∈ CvLat → ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑃 ≠ 𝑄 → ( ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) → 𝑅 ≠ 𝑃 ) ) ) ) |
8 |
7
|
imp4a |
⊢ ( 𝐾 ∈ CvLat → ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → 𝑅 ≠ 𝑃 ) ) ) |
9 |
8
|
3imp |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) → 𝑅 ≠ 𝑃 ) |