Metamath Proof Explorer


Theorem dalemcjden

Description: Lemma for dath . Show that the dummy atoms form a line. (Contributed by NM, 15-Aug-2012)

Ref Expression
Hypotheses dalem.ph ( 𝜑 ↔ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴 ) ) ∧ ( 𝑌𝑂𝑍𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑄 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑅 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ( 𝑆 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑇 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑈 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ( 𝑃 𝑆 ) ∧ 𝐶 ( 𝑄 𝑇 ) ∧ 𝐶 ( 𝑅 𝑈 ) ) ) ) )
dalem.l = ( le ‘ 𝐾 )
dalem.j = ( join ‘ 𝐾 )
dalem.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
dalem.ps ( 𝜓 ↔ ( ( 𝑐𝐴𝑑𝐴 ) ∧ ¬ 𝑐 𝑌 ∧ ( 𝑑𝑐 ∧ ¬ 𝑑 𝑌𝐶 ( 𝑐 𝑑 ) ) ) )
Assertion dalemcjden ( ( 𝜑𝜓 ) → ( 𝑐 𝑑 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dalem.ph ( 𝜑 ↔ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴 ) ) ∧ ( 𝑌𝑂𝑍𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑄 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑅 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ( 𝑆 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑇 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑈 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ( 𝑃 𝑆 ) ∧ 𝐶 ( 𝑄 𝑇 ) ∧ 𝐶 ( 𝑅 𝑈 ) ) ) ) )
2 dalem.l = ( le ‘ 𝐾 )
3 dalem.j = ( join ‘ 𝐾 )
4 dalem.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5 dalem.ps ( 𝜓 ↔ ( ( 𝑐𝐴𝑑𝐴 ) ∧ ¬ 𝑐 𝑌 ∧ ( 𝑑𝑐 ∧ ¬ 𝑑 𝑌𝐶 ( 𝑐 𝑑 ) ) ) )
6 1 dalemkehl ( 𝜑𝐾 ∈ HL )
7 6 adantr ( ( 𝜑𝜓 ) → 𝐾 ∈ HL )
8 5 dalemccea ( 𝜓𝑐𝐴 )
9 8 adantl ( ( 𝜑𝜓 ) → 𝑐𝐴 )
10 5 dalemddea ( 𝜓𝑑𝐴 )
11 10 adantl ( ( 𝜑𝜓 ) → 𝑑𝐴 )
12 5 dalemccnedd ( 𝜓𝑐𝑑 )
13 12 adantl ( ( 𝜑𝜓 ) → 𝑐𝑑 )
14 eqid ( LLines ‘ 𝐾 ) = ( LLines ‘ 𝐾 )
15 3 4 14 llni2 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐𝐴𝑑𝐴 ) ∧ 𝑐𝑑 ) → ( 𝑐 𝑑 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) )
16 7 9 11 13 15 syl31anc ( ( 𝜑𝜓 ) → ( 𝑐 𝑑 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) )