Definition df-djh

Description: Define (closed) subspace join for DVecH vector space. (Contributed by NM, 19-Jul-2014)

	Ref	Expression
Assertion	df-djh	⊢ joinH = ( 𝑘 ∈ V ↦ ( 𝑤 ∈ ( LHyp ‘ 𝑘 ) ↦ ( 𝑥 ∈ 𝒫 ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) , 𝑦 ∈ 𝒫 ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ↦ ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑥 ) ∩ ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ) ) )

Detailed syntax breakdown

Step	Hyp	Ref	Expression
0		cdjh	⊢ joinH
1		vk	⊢ 𝑘
2		cvv	⊢ V
3		vw	⊢ 𝑤
4		clh	⊢ LHyp
5	1	cv	⊢ 𝑘
6	5 4	cfv	⊢ ( LHyp ‘ 𝑘 )
7		vx	⊢ 𝑥
8		cbs	⊢ Base
9		cdvh	⊢ DVecH
10	5 9	cfv	⊢ ( DVecH ‘ 𝑘 )
11	3	cv	⊢ 𝑤
12	11 10	cfv	⊢ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 )
13	12 8	cfv	⊢ ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) )
14	13	cpw	⊢ 𝒫 ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) )
15		vy	⊢ 𝑦
16		coch	⊢ ocH
17	5 16	cfv	⊢ ( ocH ‘ 𝑘 )
18	11 17	cfv	⊢ ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 )
19	7	cv	⊢ 𝑥
20	19 18	cfv	⊢ ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑥 )
21	15	cv	⊢ 𝑦
22	21 18	cfv	⊢ ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑦 )
23	20 22	cin	⊢ ( ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑥 ) ∩ ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑦 ) )
24	23 18	cfv	⊢ ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑥 ) ∩ ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑦 ) ) )
25	7 15 14 14 24	cmpo	⊢ ( 𝑥 ∈ 𝒫 ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) , 𝑦 ∈ 𝒫 ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ↦ ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑥 ) ∩ ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑦 ) ) ) )
26	3 6 25	cmpt	⊢ ( 𝑤 ∈ ( LHyp ‘ 𝑘 ) ↦ ( 𝑥 ∈ 𝒫 ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) , 𝑦 ∈ 𝒫 ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ↦ ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑥 ) ∩ ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ) )
27	1 2 26	cmpt	⊢ ( 𝑘 ∈ V ↦ ( 𝑤 ∈ ( LHyp ‘ 𝑘 ) ↦ ( 𝑥 ∈ 𝒫 ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) , 𝑦 ∈ 𝒫 ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ↦ ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑥 ) ∩ ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ) ) )
28	0 27	wceq	⊢ joinH = ( 𝑘 ∈ V ↦ ( 𝑤 ∈ ( LHyp ‘ 𝑘 ) ↦ ( 𝑥 ∈ 𝒫 ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) , 𝑦 ∈ 𝒫 ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ↦ ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑥 ) ∩ ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ) ) )