Theorem djhffval

Description: Subspace join for DVecH vector space. (Contributed by NM, 19-Jul-2014)

	Ref	Expression
Hypothesis	djhval.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
Assertion	djhffval	⊢ ( 𝐾 ∈ 𝑋 → ( joinH ‘ 𝐾 ) = ( 𝑤 ∈ 𝐻 ↦ ( 𝑥 ∈ 𝒫 ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) , 𝑦 ∈ 𝒫 ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ↦ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑥 ) ∩ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djhval.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
2		elex	⊢ ( 𝐾 ∈ 𝑋 → 𝐾 ∈ V )
3		fveq2	⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( LHyp ‘ 𝑘 ) = ( LHyp ‘ 𝐾 ) )
4	3 1	eqtr4di	⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( LHyp ‘ 𝑘 ) = 𝐻 )
5		fveq2	⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( DVecH ‘ 𝑘 ) = ( DVecH ‘ 𝐾 ) )
6	5	fveq1d	⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) = ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) )
7	6	fveq2d	⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) = ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) )
8	7	pweqd	⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → 𝒫 ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) = 𝒫 ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) )
9		fveq2	⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( ocH ‘ 𝑘 ) = ( ocH ‘ 𝐾 ) )
10	9	fveq1d	⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) = ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) )
11	10	fveq1d	⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑥 ) )
12	10	fveq1d	⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑦 ) = ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑦 ) )
13	11 12	ineq12d	⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑥 ) ∩ ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑦 ) ) = ( ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑥 ) ∩ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑦 ) ) )
14	10 13	fveq12d	⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑥 ) ∩ ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑦 ) ) ) = ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑥 ) ∩ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑦 ) ) ) )
15	8 8 14	mpoeq123dv	⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( 𝑥 ∈ 𝒫 ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) , 𝑦 ∈ 𝒫 ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ↦ ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑥 ) ∩ ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝒫 ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) , 𝑦 ∈ 𝒫 ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ↦ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑥 ) ∩ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ) )
16	4 15	mpteq12dv	⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( 𝑤 ∈ ( LHyp ‘ 𝑘 ) ↦ ( 𝑥 ∈ 𝒫 ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) , 𝑦 ∈ 𝒫 ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ↦ ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑥 ) ∩ ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ) ) = ( 𝑤 ∈ 𝐻 ↦ ( 𝑥 ∈ 𝒫 ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) , 𝑦 ∈ 𝒫 ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ↦ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑥 ) ∩ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ) ) )
17		df-djh	⊢ joinH = ( 𝑘 ∈ V ↦ ( 𝑤 ∈ ( LHyp ‘ 𝑘 ) ↦ ( 𝑥 ∈ 𝒫 ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) , 𝑦 ∈ 𝒫 ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ↦ ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑥 ) ∩ ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ) ) )
18	16 17 1	mptfvmpt	⊢ ( 𝐾 ∈ V → ( joinH ‘ 𝐾 ) = ( 𝑤 ∈ 𝐻 ↦ ( 𝑥 ∈ 𝒫 ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) , 𝑦 ∈ 𝒫 ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ↦ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑥 ) ∩ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ) ) )
19	2 18	syl	⊢ ( 𝐾 ∈ 𝑋 → ( joinH ‘ 𝐾 ) = ( 𝑤 ∈ 𝐻 ↦ ( 𝑥 ∈ 𝒫 ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) , 𝑦 ∈ 𝒫 ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ↦ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑥 ) ∩ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ) ) )