Theorem divcan7

Description: Cancel equal divisors in a division. (Contributed by Jeff Hankins, 29-Sep-2013)

	Ref	Expression
Assertion	divcan7	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝐴 / 𝐶 ) / ( 𝐵 / 𝐶 ) ) = ( 𝐴 / 𝐵 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divdivdiv	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ) ∧ ( ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ) ) → ( ( 𝐴 / 𝐶 ) / ( 𝐵 / 𝐶 ) ) = ( ( 𝐴 · 𝐶 ) / ( 𝐶 · 𝐵 ) ) )
2	1	3impdir	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝐴 / 𝐶 ) / ( 𝐵 / 𝐶 ) ) = ( ( 𝐴 · 𝐶 ) / ( 𝐶 · 𝐵 ) ) )
3		mulcom	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( 𝐴 · 𝐶 ) = ( 𝐶 · 𝐴 ) )
4	3	adantrr	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ) → ( 𝐴 · 𝐶 ) = ( 𝐶 · 𝐴 ) )
5	4	3adant2	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ) → ( 𝐴 · 𝐶 ) = ( 𝐶 · 𝐴 ) )
6	5	oveq1d	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝐴 · 𝐶 ) / ( 𝐶 · 𝐵 ) ) = ( ( 𝐶 · 𝐴 ) / ( 𝐶 · 𝐵 ) ) )
7		divcan5	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝐶 · 𝐴 ) / ( 𝐶 · 𝐵 ) ) = ( 𝐴 / 𝐵 ) )
8	2 6 7	3eqtrd	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝐴 / 𝐶 ) / ( 𝐵 / 𝐶 ) ) = ( 𝐴 / 𝐵 ) )