Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ax-1cn |
⊢ 1 ∈ ℂ |
2 |
|
ax-1ne0 |
⊢ 1 ≠ 0 |
3 |
1 2
|
pm3.2i |
⊢ ( 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0 ) |
4 |
|
divdivdiv |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ∧ ( 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0 ) ) ) → ( ( 𝐴 / 𝐵 ) / ( 𝐶 / 1 ) ) = ( ( 𝐴 · 1 ) / ( 𝐵 · 𝐶 ) ) ) |
5 |
3 4
|
mpanr2 |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝐴 / 𝐵 ) / ( 𝐶 / 1 ) ) = ( ( 𝐴 · 1 ) / ( 𝐵 · 𝐶 ) ) ) |
6 |
5
|
3impa |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝐴 / 𝐵 ) / ( 𝐶 / 1 ) ) = ( ( 𝐴 · 1 ) / ( 𝐵 · 𝐶 ) ) ) |
7 |
|
div1 |
⊢ ( 𝐶 ∈ ℂ → ( 𝐶 / 1 ) = 𝐶 ) |
8 |
7
|
oveq2d |
⊢ ( 𝐶 ∈ ℂ → ( ( 𝐴 / 𝐵 ) / ( 𝐶 / 1 ) ) = ( ( 𝐴 / 𝐵 ) / 𝐶 ) ) |
9 |
8
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝐴 / 𝐵 ) / ( 𝐶 / 1 ) ) = ( ( 𝐴 / 𝐵 ) / 𝐶 ) ) |
10 |
9
|
3adant1 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝐴 / 𝐵 ) / ( 𝐶 / 1 ) ) = ( ( 𝐴 / 𝐵 ) / 𝐶 ) ) |
11 |
|
mulid1 |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 𝐴 · 1 ) = 𝐴 ) |
12 |
11
|
oveq1d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ( 𝐴 · 1 ) / ( 𝐵 · 𝐶 ) ) = ( 𝐴 / ( 𝐵 · 𝐶 ) ) ) |
13 |
12
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝐴 · 1 ) / ( 𝐵 · 𝐶 ) ) = ( 𝐴 / ( 𝐵 · 𝐶 ) ) ) |
14 |
6 10 13
|
3eqtr3d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝐴 / 𝐵 ) / 𝐶 ) = ( 𝐴 / ( 𝐵 · 𝐶 ) ) ) |