Theorem divmul13

Description: Swap the denominators in the product of two ratios. (Contributed by NM, 3-May-2005)

	Ref	Expression
Assertion	divmul13	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0 ) ) ) → ( ( 𝐴 / 𝐶 ) · ( 𝐵 / 𝐷 ) ) = ( ( 𝐵 / 𝐶 ) · ( 𝐴 / 𝐷 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulcom	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( 𝐴 · 𝐵 ) = ( 𝐵 · 𝐴 ) )
2	1	adantr	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0 ) ) ) → ( 𝐴 · 𝐵 ) = ( 𝐵 · 𝐴 ) )
3	2	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0 ) ) ) → ( ( 𝐴 · 𝐵 ) / ( 𝐶 · 𝐷 ) ) = ( ( 𝐵 · 𝐴 ) / ( 𝐶 · 𝐷 ) ) )
4		divmuldiv	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0 ) ) ) → ( ( 𝐴 / 𝐶 ) · ( 𝐵 / 𝐷 ) ) = ( ( 𝐴 · 𝐵 ) / ( 𝐶 · 𝐷 ) ) )
5		divmuldiv	⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0 ) ) ) → ( ( 𝐵 / 𝐶 ) · ( 𝐴 / 𝐷 ) ) = ( ( 𝐵 · 𝐴 ) / ( 𝐶 · 𝐷 ) ) )
6	5	ancom1s	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0 ) ) ) → ( ( 𝐵 / 𝐶 ) · ( 𝐴 / 𝐷 ) ) = ( ( 𝐵 · 𝐴 ) / ( 𝐶 · 𝐷 ) ) )
7	3 4 6	3eqtr4d	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0 ) ) ) → ( ( 𝐴 / 𝐶 ) · ( 𝐵 / 𝐷 ) ) = ( ( 𝐵 / 𝐶 ) · ( 𝐴 / 𝐷 ) ) )