Theorem dvdsmultr1

Description: If an integer divides another, it divides a multiple of it. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012)

	Ref	Expression
Assertion	dvdsmultr1	⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ∥ 𝑀 → 𝐾 ∥ ( 𝑀 · 𝑁 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsmul1	⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → 𝑀 ∥ ( 𝑀 · 𝑁 ) )
2	1	3adant1	⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → 𝑀 ∥ ( 𝑀 · 𝑁 ) )
3		zmulcl	⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 · 𝑁 ) ∈ ℤ )
4	3	3adant1	⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 · 𝑁 ) ∈ ℤ )
5		dvdstr	⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ ( 𝑀 · 𝑁 ) ∈ ℤ ) → ( ( 𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∥ ( 𝑀 · 𝑁 ) ) → 𝐾 ∥ ( 𝑀 · 𝑁 ) ) )
6	4 5	syld3an3	⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∥ ( 𝑀 · 𝑁 ) ) → 𝐾 ∥ ( 𝑀 · 𝑁 ) ) )
7	2 6	mpan2d	⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ∥ 𝑀 → 𝐾 ∥ ( 𝑀 · 𝑁 ) ) )