Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
elfzoelz |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) → 𝐾 ∈ ℤ ) |
2 |
|
elfzoel2 |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
3 |
|
elfzolt2 |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) → 𝐾 < 𝑁 ) |
4 |
|
zre |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ ) |
5 |
|
zre |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ ) |
6 |
|
ltle |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ) → ( 𝐾 < 𝑁 → 𝐾 ≤ 𝑁 ) ) |
7 |
4 5 6
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 < 𝑁 → 𝐾 ≤ 𝑁 ) ) |
8 |
1 2 7
|
syl2anc |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) → ( 𝐾 < 𝑁 → 𝐾 ≤ 𝑁 ) ) |
9 |
3 8
|
mpd |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) → 𝐾 ≤ 𝑁 ) |
10 |
|
eluz2 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝐾 ) ↔ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) ) |
11 |
1 2 9 10
|
syl3anbrc |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) → 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝐾 ) ) |