Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
risset |
⊢ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↔ ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 = 𝑥 ) |
2 |
1
|
anbi2ci |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 = 〈 𝑥 , 𝑥 〉 ) ↔ ( 𝐶 = 〈 𝑥 , 𝑥 〉 ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 = 𝑥 ) ) |
3 |
|
r19.42v |
⊢ ( ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝐶 = 〈 𝑥 , 𝑥 〉 ∧ 𝑦 = 𝑥 ) ↔ ( 𝐶 = 〈 𝑥 , 𝑥 〉 ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 = 𝑥 ) ) |
4 |
|
opeq2 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → 〈 𝑥 , 𝑥 〉 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) |
5 |
4
|
equcoms |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → 〈 𝑥 , 𝑥 〉 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) |
6 |
5
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( 𝐶 = 〈 𝑥 , 𝑥 〉 ↔ 𝐶 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) ) |
7 |
6
|
pm5.32ri |
⊢ ( ( 𝐶 = 〈 𝑥 , 𝑥 〉 ∧ 𝑦 = 𝑥 ) ↔ ( 𝐶 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝑦 = 𝑥 ) ) |
8 |
|
vex |
⊢ 𝑦 ∈ V |
9 |
8
|
ideq |
⊢ ( 𝑥 I 𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦 ) |
10 |
|
df-br |
⊢ ( 𝑥 I 𝑦 ↔ 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ I ) |
11 |
|
equcom |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥 ) |
12 |
9 10 11
|
3bitr3i |
⊢ ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ I ↔ 𝑦 = 𝑥 ) |
13 |
12
|
anbi2i |
⊢ ( ( 𝐶 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ I ) ↔ ( 𝐶 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝑦 = 𝑥 ) ) |
14 |
7 13
|
bitr4i |
⊢ ( ( 𝐶 = 〈 𝑥 , 𝑥 〉 ∧ 𝑦 = 𝑥 ) ↔ ( 𝐶 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ I ) ) |
15 |
14
|
rexbii |
⊢ ( ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝐶 = 〈 𝑥 , 𝑥 〉 ∧ 𝑦 = 𝑥 ) ↔ ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝐶 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ I ) ) |
16 |
2 3 15
|
3bitr2i |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 = 〈 𝑥 , 𝑥 〉 ) ↔ ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝐶 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ I ) ) |
17 |
16
|
rexbii |
⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 = 〈 𝑥 , 𝑥 〉 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝐶 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ I ) ) |
18 |
|
rexin |
⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) 𝐶 = 〈 𝑥 , 𝑥 〉 ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 = 〈 𝑥 , 𝑥 〉 ) ) |
19 |
|
elinxp |
⊢ ( 𝐶 ∈ ( I ∩ ( 𝐴 × 𝐵 ) ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝐶 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ I ) ) |
20 |
17 18 19
|
3bitr4ri |
⊢ ( 𝐶 ∈ ( I ∩ ( 𝐴 × 𝐵 ) ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) 𝐶 = 〈 𝑥 , 𝑥 〉 ) |