Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
simpll |
⊢ ( ( ( 𝑅 Er 𝑋 ∧ 𝐴 𝑅 𝐵 ) ∧ 𝐴 𝑅 𝐶 ) → 𝑅 Er 𝑋 ) |
2 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝑅 Er 𝑋 ∧ 𝐴 𝑅 𝐵 ) ∧ 𝐴 𝑅 𝐶 ) → 𝐴 𝑅 𝐵 ) |
3 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝑅 Er 𝑋 ∧ 𝐴 𝑅 𝐵 ) ∧ 𝐴 𝑅 𝐶 ) → 𝐴 𝑅 𝐶 ) |
4 |
1 2 3
|
ertr3d |
⊢ ( ( ( 𝑅 Er 𝑋 ∧ 𝐴 𝑅 𝐵 ) ∧ 𝐴 𝑅 𝐶 ) → 𝐵 𝑅 𝐶 ) |
5 |
|
simpll |
⊢ ( ( ( 𝑅 Er 𝑋 ∧ 𝐴 𝑅 𝐵 ) ∧ 𝐵 𝑅 𝐶 ) → 𝑅 Er 𝑋 ) |
6 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝑅 Er 𝑋 ∧ 𝐴 𝑅 𝐵 ) ∧ 𝐵 𝑅 𝐶 ) → 𝐴 𝑅 𝐵 ) |
7 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝑅 Er 𝑋 ∧ 𝐴 𝑅 𝐵 ) ∧ 𝐵 𝑅 𝐶 ) → 𝐵 𝑅 𝐶 ) |
8 |
5 6 7
|
ertrd |
⊢ ( ( ( 𝑅 Er 𝑋 ∧ 𝐴 𝑅 𝐵 ) ∧ 𝐵 𝑅 𝐶 ) → 𝐴 𝑅 𝐶 ) |
9 |
4 8
|
impbida |
⊢ ( ( 𝑅 Er 𝑋 ∧ 𝐴 𝑅 𝐵 ) → ( 𝐴 𝑅 𝐶 ↔ 𝐵 𝑅 𝐶 ) ) |