Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
fsum0diag.1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑗 ) ) ) ) → 𝐴 ∈ ℂ ) |
2 |
|
fzfid |
⊢ ( 𝜑 → ( 0 ... 𝑁 ) ∈ Fin ) |
3 |
|
fzfid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑗 ) ) ∈ Fin ) |
4 |
|
fsum0diaglem |
⊢ ( ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑗 ) ) ) → ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑘 ) ) ) ) |
5 |
|
fsum0diaglem |
⊢ ( ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑘 ) ) ) → ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑗 ) ) ) ) |
6 |
4 5
|
impbii |
⊢ ( ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑗 ) ) ) ↔ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑘 ) ) ) ) |
7 |
6
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑗 ) ) ) ↔ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑘 ) ) ) ) ) |
8 |
2 2 3 7 1
|
fsumcom2 |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑗 ) ) 𝐴 = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑘 ) ) 𝐴 ) |