Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
mptfzshft.1 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ ) |
2 |
|
mptfzshft.2 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ ) |
3 |
|
mptfzshft.3 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ ) |
4 |
|
ovex |
⊢ ( 𝑗 − 𝐾 ) ∈ V |
5 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝑀 + 𝐾 ) ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ↦ ( 𝑗 − 𝐾 ) ) = ( 𝑗 ∈ ( ( 𝑀 + 𝐾 ) ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ↦ ( 𝑗 − 𝐾 ) ) |
6 |
4 5
|
fnmpti |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝑀 + 𝐾 ) ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ↦ ( 𝑗 − 𝐾 ) ) Fn ( ( 𝑀 + 𝐾 ) ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) |
7 |
6
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑗 ∈ ( ( 𝑀 + 𝐾 ) ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ↦ ( 𝑗 − 𝐾 ) ) Fn ( ( 𝑀 + 𝐾 ) ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ) |
8 |
|
ovex |
⊢ ( 𝑘 + 𝐾 ) ∈ V |
9 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↦ ( 𝑘 + 𝐾 ) ) = ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↦ ( 𝑘 + 𝐾 ) ) |
10 |
8 9
|
fnmpti |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↦ ( 𝑘 + 𝐾 ) ) Fn ( 𝑀 ... 𝑁 ) |
11 |
|
simprr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝑀 + 𝐾 ) ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 𝐾 ) ) ) → 𝑘 = ( 𝑗 − 𝐾 ) ) |
12 |
11
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝑀 + 𝐾 ) ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 𝐾 ) ) ) → ( 𝑘 + 𝐾 ) = ( ( 𝑗 − 𝐾 ) + 𝐾 ) ) |
13 |
|
elfzelz |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝑀 + 𝐾 ) ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) → 𝑗 ∈ ℤ ) |
14 |
13
|
ad2antrl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝑀 + 𝐾 ) ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 𝐾 ) ) ) → 𝑗 ∈ ℤ ) |
15 |
1
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝑀 + 𝐾 ) ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 𝐾 ) ) ) → 𝐾 ∈ ℤ ) |
16 |
|
zcn |
⊢ ( 𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℂ ) |
17 |
|
zcn |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ ) |
18 |
|
npcan |
⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑗 − 𝐾 ) + 𝐾 ) = 𝑗 ) |
19 |
16 17 18
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑗 − 𝐾 ) + 𝐾 ) = 𝑗 ) |
20 |
14 15 19
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝑀 + 𝐾 ) ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝑗 − 𝐾 ) + 𝐾 ) = 𝑗 ) |
21 |
12 20
|
eqtr2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝑀 + 𝐾 ) ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 𝐾 ) ) ) → 𝑗 = ( 𝑘 + 𝐾 ) ) |
22 |
|
simprl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝑀 + 𝐾 ) ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 𝐾 ) ) ) → 𝑗 ∈ ( ( 𝑀 + 𝐾 ) ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ) |
23 |
21 22
|
eqeltrrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝑀 + 𝐾 ) ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 𝐾 ) ) ) → ( 𝑘 + 𝐾 ) ∈ ( ( 𝑀 + 𝐾 ) ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ) |
24 |
2
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝑀 + 𝐾 ) ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 𝐾 ) ) ) → 𝑀 ∈ ℤ ) |
25 |
3
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝑀 + 𝐾 ) ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 𝐾 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
26 |
14 15
|
zsubcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝑀 + 𝐾 ) ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 𝐾 ) ) ) → ( 𝑗 − 𝐾 ) ∈ ℤ ) |
27 |
11 26
|
eqeltrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝑀 + 𝐾 ) ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 𝐾 ) ) ) → 𝑘 ∈ ℤ ) |
28 |
|
fzaddel |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝑘 + 𝐾 ) ∈ ( ( 𝑀 + 𝐾 ) ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ) ) |
29 |
24 25 27 15 28
|
syl22anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝑀 + 𝐾 ) ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 𝐾 ) ) ) → ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝑘 + 𝐾 ) ∈ ( ( 𝑀 + 𝐾 ) ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ) ) |
30 |
23 29
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝑀 + 𝐾 ) ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 𝐾 ) ) ) → 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) |
31 |
30 21
|
jca |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝑀 + 𝐾 ) ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 𝐾 ) ) ) → ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝑘 + 𝐾 ) ) ) |
32 |
|
simprr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝑘 + 𝐾 ) ) ) → 𝑗 = ( 𝑘 + 𝐾 ) ) |
33 |
|
simprl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝑘 + 𝐾 ) ) ) → 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) |
34 |
2
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝑘 + 𝐾 ) ) ) → 𝑀 ∈ ℤ ) |
35 |
3
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝑘 + 𝐾 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
36 |
|
elfzelz |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) → 𝑘 ∈ ℤ ) |
37 |
36
|
ad2antrl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝑘 + 𝐾 ) ) ) → 𝑘 ∈ ℤ ) |
38 |
1
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝑘 + 𝐾 ) ) ) → 𝐾 ∈ ℤ ) |
39 |
34 35 37 38 28
|
syl22anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝑘 + 𝐾 ) ) ) → ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝑘 + 𝐾 ) ∈ ( ( 𝑀 + 𝐾 ) ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ) ) |
40 |
33 39
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝑘 + 𝐾 ) ) ) → ( 𝑘 + 𝐾 ) ∈ ( ( 𝑀 + 𝐾 ) ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ) |
41 |
32 40
|
eqeltrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝑘 + 𝐾 ) ) ) → 𝑗 ∈ ( ( 𝑀 + 𝐾 ) ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ) |
42 |
32
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝑘 + 𝐾 ) ) ) → ( 𝑗 − 𝐾 ) = ( ( 𝑘 + 𝐾 ) − 𝐾 ) ) |
43 |
|
zcn |
⊢ ( 𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ ) |
44 |
|
pncan |
⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑘 + 𝐾 ) − 𝐾 ) = 𝑘 ) |
45 |
43 17 44
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑘 + 𝐾 ) − 𝐾 ) = 𝑘 ) |
46 |
37 38 45
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝑘 + 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝑘 + 𝐾 ) − 𝐾 ) = 𝑘 ) |
47 |
42 46
|
eqtr2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝑘 + 𝐾 ) ) ) → 𝑘 = ( 𝑗 − 𝐾 ) ) |
48 |
41 47
|
jca |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝑘 + 𝐾 ) ) ) → ( 𝑗 ∈ ( ( 𝑀 + 𝐾 ) ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 𝐾 ) ) ) |
49 |
31 48
|
impbida |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑗 ∈ ( ( 𝑀 + 𝐾 ) ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝑗 − 𝐾 ) ) ↔ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝑘 + 𝐾 ) ) ) ) |
50 |
49
|
mptcnv |
⊢ ( 𝜑 → ◡ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝑀 + 𝐾 ) ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ↦ ( 𝑗 − 𝐾 ) ) = ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↦ ( 𝑘 + 𝐾 ) ) ) |
51 |
50
|
fneq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ◡ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝑀 + 𝐾 ) ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ↦ ( 𝑗 − 𝐾 ) ) Fn ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↦ ( 𝑘 + 𝐾 ) ) Fn ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ) |
52 |
10 51
|
mpbiri |
⊢ ( 𝜑 → ◡ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝑀 + 𝐾 ) ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ↦ ( 𝑗 − 𝐾 ) ) Fn ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) |
53 |
|
dff1o4 |
⊢ ( ( 𝑗 ∈ ( ( 𝑀 + 𝐾 ) ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ↦ ( 𝑗 − 𝐾 ) ) : ( ( 𝑀 + 𝐾 ) ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) –1-1-onto→ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↔ ( ( 𝑗 ∈ ( ( 𝑀 + 𝐾 ) ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ↦ ( 𝑗 − 𝐾 ) ) Fn ( ( 𝑀 + 𝐾 ) ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ∧ ◡ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝑀 + 𝐾 ) ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ↦ ( 𝑗 − 𝐾 ) ) Fn ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ) |
54 |
7 52 53
|
sylanbrc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑗 ∈ ( ( 𝑀 + 𝐾 ) ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) ↦ ( 𝑗 − 𝐾 ) ) : ( ( 𝑀 + 𝐾 ) ... ( 𝑁 + 𝐾 ) ) –1-1-onto→ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) |