Theorem fsumrev

Description: Reversal of a finite sum. (Contributed by NM, 26-Nov-2005) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014)

	Ref	Expression
Hypotheses	fsumrev.1	⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ )
	fsumrev.2	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ )
	fsumrev.3	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ )
	fsumrev.4	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → 𝐴 ∈ ℂ )
	fsumrev.5	⊢ ( 𝑗 = ( 𝐾 − 𝑘 ) → 𝐴 = 𝐵 )
Assertion	fsumrev	⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑗 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) 𝐴 = Σ 𝑘 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) 𝐵 )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumrev.1	⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ )
2		fsumrev.2	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ )
3		fsumrev.3	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ )
4		fsumrev.4	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → 𝐴 ∈ ℂ )
5		fsumrev.5	⊢ ( 𝑗 = ( 𝐾 − 𝑘 ) → 𝐴 = 𝐵 )
6		fzfid	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ∈ Fin )
7		eqid	⊢ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ↦ ( 𝐾 − 𝑗 ) ) = ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ↦ ( 𝐾 − 𝑗 ) )
8		ovexd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ) → ( 𝐾 − 𝑗 ) ∈ V )
9		ovexd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐾 − 𝑘 ) ∈ V )
10		simprr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 − 𝑗 ) ) ) → 𝑘 = ( 𝐾 − 𝑗 ) )
11		simprl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 − 𝑗 ) ) ) → 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) )
12	2	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 − 𝑗 ) ) ) → 𝑀 ∈ ℤ )
13	3	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 − 𝑗 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℤ )
14	1	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 − 𝑗 ) ) ) → 𝐾 ∈ ℤ )
15		elfzelz	⊢ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) → 𝑗 ∈ ℤ )
16	11 15	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 − 𝑗 ) ) ) → 𝑗 ∈ ℤ )
17		fzrev	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ↔ ( 𝐾 − 𝑗 ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) )
18	12 13 14 16 17	syl22anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 − 𝑗 ) ) ) → ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ↔ ( 𝐾 − 𝑗 ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) )
19	11 18	mpbid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 − 𝑗 ) ) ) → ( 𝐾 − 𝑗 ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) )
20	10 19	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 − 𝑗 ) ) ) → 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) )
21	10	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 − 𝑗 ) ) ) → ( 𝐾 − 𝑘 ) = ( 𝐾 − ( 𝐾 − 𝑗 ) ) )
22		zcn	⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ )
23		zcn	⊢ ( 𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℂ )
24		nncan	⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ ) → ( 𝐾 − ( 𝐾 − 𝑗 ) ) = 𝑗 )
25	22 23 24	syl2an	⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 − ( 𝐾 − 𝑗 ) ) = 𝑗 )
26	1 16 25	syl2an2r	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 − 𝑗 ) ) ) → ( 𝐾 − ( 𝐾 − 𝑗 ) ) = 𝑗 )
27	21 26	eqtr2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 − 𝑗 ) ) ) → 𝑗 = ( 𝐾 − 𝑘 ) )
28	20 27	jca	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 − 𝑗 ) ) ) → ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝐾 − 𝑘 ) ) )
29		simprr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝐾 − 𝑘 ) ) ) → 𝑗 = ( 𝐾 − 𝑘 ) )
30		simprl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝐾 − 𝑘 ) ) ) → 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) )
31	2	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝐾 − 𝑘 ) ) ) → 𝑀 ∈ ℤ )
32	3	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝐾 − 𝑘 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℤ )
33	1	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝐾 − 𝑘 ) ) ) → 𝐾 ∈ ℤ )
34		elfzelz	⊢ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) → 𝑘 ∈ ℤ )
35	30 34	syl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝐾 − 𝑘 ) ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
36		fzrev2	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝐾 − 𝑘 ) ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ) )
37	31 32 33 35 36	syl22anc	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝐾 − 𝑘 ) ) ) → ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝐾 − 𝑘 ) ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ) )
38	30 37	mpbid	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝐾 − 𝑘 ) ) ) → ( 𝐾 − 𝑘 ) ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) )
39	29 38	eqeltrd	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝐾 − 𝑘 ) ) ) → 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) )
40	29	oveq2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝐾 − 𝑘 ) ) ) → ( 𝐾 − 𝑗 ) = ( 𝐾 − ( 𝐾 − 𝑘 ) ) )
41		zcn	⊢ ( 𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ )
42		nncan	⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ) → ( 𝐾 − ( 𝐾 − 𝑘 ) ) = 𝑘 )
43	22 41 42	syl2an	⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 − ( 𝐾 − 𝑘 ) ) = 𝑘 )
44	1 35 43	syl2an2r	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝐾 − 𝑘 ) ) ) → ( 𝐾 − ( 𝐾 − 𝑘 ) ) = 𝑘 )
45	40 44	eqtr2d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝐾 − 𝑘 ) ) ) → 𝑘 = ( 𝐾 − 𝑗 ) )
46	39 45	jca	⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝐾 − 𝑘 ) ) ) → ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 − 𝑗 ) ) )
47	28 46	impbida	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ∧ 𝑘 = ( 𝐾 − 𝑗 ) ) ↔ ( 𝑘 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ∧ 𝑗 = ( 𝐾 − 𝑘 ) ) ) )
48	7 8 9 47	f1od	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ↦ ( 𝐾 − 𝑗 ) ) : ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) –1-1-onto→ ( 𝑀 ... 𝑁 ) )
49		oveq2	⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( 𝐾 − 𝑗 ) = ( 𝐾 − 𝑘 ) )
50		ovex	⊢ ( 𝐾 − 𝑘 ) ∈ V
51	49 7 50	fvmpt	⊢ ( 𝑘 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) → ( ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ↦ ( 𝐾 − 𝑗 ) ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝐾 − 𝑘 ) )
52	51	adantl	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ) → ( ( 𝑗 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ↦ ( 𝐾 − 𝑗 ) ) ‘ 𝑘 ) = ( 𝐾 − 𝑘 ) )
53	5 6 48 52 4	fsumf1o	⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑗 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) 𝐴 = Σ 𝑘 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) 𝐵 )