Theorem fzrev2

Description: Reversal of start and end of a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 25-Nov-2005)

	Ref	Expression
Assertion	fzrev2	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ) → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝐽 − 𝐾 ) ∈ ( ( 𝐽 − 𝑁 ) ... ( 𝐽 − 𝑀 ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl	⊢ ( ( 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → 𝐽 ∈ ℤ )
2		zsubcl	⊢ ( ( 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 𝐽 − 𝐾 ) ∈ ℤ )
3	1 2	jca	⊢ ( ( 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 𝐽 ∈ ℤ ∧ ( 𝐽 − 𝐾 ) ∈ ℤ ) )
4		fzrev	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐽 ∈ ℤ ∧ ( 𝐽 − 𝐾 ) ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝐽 − 𝐾 ) ∈ ( ( 𝐽 − 𝑁 ) ... ( 𝐽 − 𝑀 ) ) ↔ ( 𝐽 − ( 𝐽 − 𝐾 ) ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) )
5	3 4	sylan2	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝐽 − 𝐾 ) ∈ ( ( 𝐽 − 𝑁 ) ... ( 𝐽 − 𝑀 ) ) ↔ ( 𝐽 − ( 𝐽 − 𝐾 ) ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) )
6		zcn	⊢ ( 𝐽 ∈ ℤ → 𝐽 ∈ ℂ )
7		zcn	⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ )
8		nncan	⊢ ( ( 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ) → ( 𝐽 − ( 𝐽 − 𝐾 ) ) = 𝐾 )
9	6 7 8	syl2an	⊢ ( ( 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 𝐽 − ( 𝐽 − 𝐾 ) ) = 𝐾 )
10	9	adantl	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ) → ( 𝐽 − ( 𝐽 − 𝐾 ) ) = 𝐾 )
11	10	eleq1d	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝐽 − ( 𝐽 − 𝐾 ) ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↔ 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) )
12	5 11	bitr2d	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ) → ( 𝐾 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝐽 − 𝐾 ) ∈ ( ( 𝐽 − 𝑁 ) ... ( 𝐽 − 𝑀 ) ) ) )