Theorem fznn0

Description: Characterization of a finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by NM, 1-Aug-2005)

	Ref	Expression
Assertion	fznn0	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( 𝐾 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z	⊢ 0 ∈ ℤ
2		nn0z	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ )
3		elfz1	⊢ ( ( 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) ) )
4	1 2 3	sylancr	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( 𝐾 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) ) )
5		df-3an	⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) ↔ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾 ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) )
6		elnn0z	⊢ ( 𝐾 ∈ ℕ0 ↔ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾 ) )
7	6	anbi1i	⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) ↔ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾 ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) )
8	5 7	bitr4i	⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) ↔ ( 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) )
9	4 8	syl6bb	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( 𝐾 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ ( 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁 ) ) )