Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
zre |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ ) |
2 |
|
ltp1 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 < ( 𝑁 + 1 ) ) |
3 |
|
id |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℝ ) |
4 |
|
peano2re |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℝ → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℝ ) |
5 |
3 4
|
ltnled |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℝ → ( 𝑁 < ( 𝑁 + 1 ) ↔ ¬ ( 𝑁 + 1 ) ≤ 𝑁 ) ) |
6 |
2 5
|
mpbid |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℝ → ¬ ( 𝑁 + 1 ) ≤ 𝑁 ) |
7 |
1 6
|
syl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ¬ ( 𝑁 + 1 ) ≤ 𝑁 ) |
8 |
7
|
intnand |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ¬ ( 𝑀 ≤ ( 𝑁 + 1 ) ∧ ( 𝑁 + 1 ) ≤ 𝑁 ) ) |
9 |
8
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℤ ) → ¬ ( 𝑀 ≤ ( 𝑁 + 1 ) ∧ ( 𝑁 + 1 ) ≤ 𝑁 ) ) |
10 |
|
elfz2 |
⊢ ( ( 𝑁 + 1 ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↔ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑀 ≤ ( 𝑁 + 1 ) ∧ ( 𝑁 + 1 ) ≤ 𝑁 ) ) ) |
11 |
10
|
notbii |
⊢ ( ¬ ( 𝑁 + 1 ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↔ ¬ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑀 ≤ ( 𝑁 + 1 ) ∧ ( 𝑁 + 1 ) ≤ 𝑁 ) ) ) |
12 |
|
imnan |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℤ ) → ¬ ( 𝑀 ≤ ( 𝑁 + 1 ) ∧ ( 𝑁 + 1 ) ≤ 𝑁 ) ) ↔ ¬ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑀 ≤ ( 𝑁 + 1 ) ∧ ( 𝑁 + 1 ) ≤ 𝑁 ) ) ) |
13 |
11 12
|
bitr4i |
⊢ ( ¬ ( 𝑁 + 1 ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ↔ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℤ ) → ¬ ( 𝑀 ≤ ( 𝑁 + 1 ) ∧ ( 𝑁 + 1 ) ≤ 𝑁 ) ) ) |
14 |
9 13
|
mpbir |
⊢ ¬ ( 𝑁 + 1 ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) |