Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ) → 𝑘 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ) |
2 |
|
elfzelz |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) → 𝑘 ∈ ℤ ) |
3 |
|
fzrev |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑘 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ↔ ( 𝐾 − 𝑘 ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ) |
4 |
3
|
anassrs |
⊢ ( ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑘 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ↔ ( 𝐾 − 𝑘 ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ) |
5 |
2 4
|
sylan2 |
⊢ ( ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ) → ( 𝑘 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ↔ ( 𝐾 − 𝑘 ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) ) |
6 |
1 5
|
mpbid |
⊢ ( ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ) → ( 𝐾 − 𝑘 ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) |
7 |
|
rspsbc |
⊢ ( ( 𝐾 − 𝑘 ) ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) → ( ∀ 𝑗 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) 𝜑 → [ ( 𝐾 − 𝑘 ) / 𝑗 ] 𝜑 ) ) |
8 |
6 7
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ∧ 𝑘 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ) → ( ∀ 𝑗 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) 𝜑 → [ ( 𝐾 − 𝑘 ) / 𝑗 ] 𝜑 ) ) |
9 |
8
|
ex3 |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 𝑘 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) → ( ∀ 𝑗 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) 𝜑 → [ ( 𝐾 − 𝑘 ) / 𝑗 ] 𝜑 ) ) ) |
10 |
9
|
com23 |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ∀ 𝑗 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) 𝜑 → ( 𝑘 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) → [ ( 𝐾 − 𝑘 ) / 𝑗 ] 𝜑 ) ) ) |
11 |
10
|
ralrimdv |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ∀ 𝑗 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) 𝜑 → ∀ 𝑘 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) [ ( 𝐾 − 𝑘 ) / 𝑗 ] 𝜑 ) ) |
12 |
|
nfv |
⊢ Ⅎ 𝑗 𝐾 ∈ ℤ |
13 |
|
nfcv |
⊢ Ⅎ 𝑗 ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) |
14 |
|
nfsbc1v |
⊢ Ⅎ 𝑗 [ ( 𝐾 − 𝑘 ) / 𝑗 ] 𝜑 |
15 |
13 14
|
nfralw |
⊢ Ⅎ 𝑗 ∀ 𝑘 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) [ ( 𝐾 − 𝑘 ) / 𝑗 ] 𝜑 |
16 |
|
fzrev2i |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐾 − 𝑗 ) ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) ) |
17 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑘 = ( 𝐾 − 𝑗 ) → ( 𝐾 − 𝑘 ) = ( 𝐾 − ( 𝐾 − 𝑗 ) ) ) |
18 |
17
|
sbceq1d |
⊢ ( 𝑘 = ( 𝐾 − 𝑗 ) → ( [ ( 𝐾 − 𝑘 ) / 𝑗 ] 𝜑 ↔ [ ( 𝐾 − ( 𝐾 − 𝑗 ) ) / 𝑗 ] 𝜑 ) ) |
19 |
18
|
rspcv |
⊢ ( ( 𝐾 − 𝑗 ) ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) → ( ∀ 𝑘 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) [ ( 𝐾 − 𝑘 ) / 𝑗 ] 𝜑 → [ ( 𝐾 − ( 𝐾 − 𝑗 ) ) / 𝑗 ] 𝜑 ) ) |
20 |
16 19
|
syl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → ( ∀ 𝑘 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) [ ( 𝐾 − 𝑘 ) / 𝑗 ] 𝜑 → [ ( 𝐾 − ( 𝐾 − 𝑗 ) ) / 𝑗 ] 𝜑 ) ) |
21 |
|
zcn |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ ) |
22 |
|
elfzelz |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) → 𝑗 ∈ ℤ ) |
23 |
22
|
zcnd |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) → 𝑗 ∈ ℂ ) |
24 |
|
nncan |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ ) → ( 𝐾 − ( 𝐾 − 𝑗 ) ) = 𝑗 ) |
25 |
21 23 24
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐾 − ( 𝐾 − 𝑗 ) ) = 𝑗 ) |
26 |
25
|
eqcomd |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → 𝑗 = ( 𝐾 − ( 𝐾 − 𝑗 ) ) ) |
27 |
|
sbceq1a |
⊢ ( 𝑗 = ( 𝐾 − ( 𝐾 − 𝑗 ) ) → ( 𝜑 ↔ [ ( 𝐾 − ( 𝐾 − 𝑗 ) ) / 𝑗 ] 𝜑 ) ) |
28 |
26 27
|
syl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → ( 𝜑 ↔ [ ( 𝐾 − ( 𝐾 − 𝑗 ) ) / 𝑗 ] 𝜑 ) ) |
29 |
20 28
|
sylibrd |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) ) → ( ∀ 𝑘 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) [ ( 𝐾 − 𝑘 ) / 𝑗 ] 𝜑 → 𝜑 ) ) |
30 |
29
|
ex |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → ( 𝑗 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) → ( ∀ 𝑘 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) [ ( 𝐾 − 𝑘 ) / 𝑗 ] 𝜑 → 𝜑 ) ) ) |
31 |
30
|
com23 |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → ( ∀ 𝑘 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) [ ( 𝐾 − 𝑘 ) / 𝑗 ] 𝜑 → ( 𝑗 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) → 𝜑 ) ) ) |
32 |
12 15 31
|
ralrimd |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → ( ∀ 𝑘 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) [ ( 𝐾 − 𝑘 ) / 𝑗 ] 𝜑 → ∀ 𝑗 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) 𝜑 ) ) |
33 |
32
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ∀ 𝑘 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) [ ( 𝐾 − 𝑘 ) / 𝑗 ] 𝜑 → ∀ 𝑗 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) 𝜑 ) ) |
34 |
11 33
|
impbid |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ∀ 𝑗 ∈ ( 𝑀 ... 𝑁 ) 𝜑 ↔ ∀ 𝑘 ∈ ( ( 𝐾 − 𝑁 ) ... ( 𝐾 − 𝑀 ) ) [ ( 𝐾 − 𝑘 ) / 𝑗 ] 𝜑 ) ) |