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Theorem iscgrag

Description: Ray normalization: an angle congruence yields two points on the target rays carrying a full triangle congruence, together with the two arm lengths. This is the forward direction of iscgra (Schwabhauser 11.3) repackaged -- nothing is constructed; the distances are read off the cgrG with cgr3simp1 and cgr3simp2 . No non-degeneracy hypothesis is needed or wanted: cgrA carries vertex distinctness intrinsically ( cgrane1 through cgrane4 ), and an extra hypothesis would obstruct the degenerate branches. (Contributed by JAG, 12-Aug-2026)

Ref Expression
Hypotheses iscgrag.p ⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 )
iscgrag.i ⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 )
iscgrag.k ⊢ 𝐾 = ( hlG ‘ 𝐺 )
iscgrag.m ⊢ − = ( dist ‘ 𝐺 )
iscgrag.g ⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG )
iscgrag.a ⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃 )
iscgrag.b ⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃 )
iscgrag.c ⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃 )
iscgrag.d ⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃 )
iscgrag.e ⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃 )
iscgrag.f ⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃 )
iscgrag.1 ⊢ ( 𝜑 → ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrA ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”⟩ )
Assertion iscgrag ( 𝜑 → ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ∧ ( ( 𝐸 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ∧ ( 𝐸 − 𝑦 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 iscgrag.p ⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 )
2 iscgrag.i ⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 )
3 iscgrag.k ⊢ 𝐾 = ( hlG ‘ 𝐺 )
4 iscgrag.m ⊢ − = ( dist ‘ 𝐺 )
5 iscgrag.g ⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG )
6 iscgrag.a ⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃 )
7 iscgrag.b ⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃 )
8 iscgrag.c ⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃 )
9 iscgrag.d ⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃 )
10 iscgrag.e ⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃 )
11 iscgrag.f ⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃 )
12 iscgrag.1 ⊢ ( 𝜑 → ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrA ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”⟩ )
13 simpr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) )
14 simpll ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) )
15 14 simpld ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → 𝜑 )
16 15 5 syl ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
17 15 6 syl ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → 𝐴 ∈ 𝑃 )
18 15 7 syl ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → 𝐵 ∈ 𝑃 )
19 14 simprd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → 𝑥 ∈ 𝑃 )
20 15 10 syl ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → 𝐸 ∈ 𝑃 )
21 eqid ⊢ ( cgrG ‘ 𝐺 ) = ( cgrG ‘ 𝐺 )
22 15 8 syl ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → 𝐶 ∈ 𝑃 )
23 simplr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → 𝑦 ∈ 𝑃 )
24 13 simp1d ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ )
25 1 4 2 21 16 17 18 22 19 20 23 24 cgr3simp1 ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑥 − 𝐸 ) )
26 1 4 2 16 17 18 19 20 25 tgcgrcomlr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → ( 𝐵 − 𝐴 ) = ( 𝐸 − 𝑥 ) )
27 26 eqcomd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → ( 𝐸 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) )
28 1 4 2 21 16 17 18 22 19 20 23 24 cgr3simp2 ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → ( 𝐵 − 𝐶 ) = ( 𝐸 − 𝑦 ) )
29 28 eqcomd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → ( 𝐸 − 𝑦 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) )
30 27 29 jca ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → ( ( 𝐸 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ∧ ( 𝐸 − 𝑦 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) )
31 13 30 jca ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → ( ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ∧ ( ( 𝐸 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ∧ ( 𝐸 − 𝑦 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) )
32 31 ex ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) → ( ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) → ( ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ∧ ( ( 𝐸 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ∧ ( 𝐸 − 𝑦 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) ) )
33 32 reximdva ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) → ( ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ∧ ( ( 𝐸 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ∧ ( 𝐸 − 𝑦 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) ) )
34 33 imp ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ∧ ( ( 𝐸 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ∧ ( 𝐸 − 𝑦 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) )
35 1 2 3 5 6 7 8 9 10 11 iscgra ⊢ ( 𝜑 → ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrA ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”⟩ ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) )
36 12 35 mpbid ⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) )
37 34 36 reximddv3 ⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ∧ ( ( 𝐸 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ∧ ( 𝐸 − 𝑦 ) = ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) )