Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
iscnrm3rlem4.1 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ∈ Top ) |
2 |
|
iscnrm3rlem4.2 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽 ) |
3 |
|
iscnrm3rlem5.3 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ⊆ ∪ 𝐽 ) |
4 |
|
iscnrm3rlem6.4 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑂 ⊆ ( ∪ 𝐽 ∖ ( ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑆 ) ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑇 ) ) ) ) |
5 |
1 2 3
|
iscnrm3rlem5 |
⊢ ( 𝜑 → ( ∪ 𝐽 ∖ ( ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑆 ) ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑇 ) ) ) ∈ 𝐽 ) |
6 |
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restopn2 |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( ∪ 𝐽 ∖ ( ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑆 ) ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑇 ) ) ) ∈ 𝐽 ) → ( 𝑂 ∈ ( 𝐽 ↾t ( ∪ 𝐽 ∖ ( ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑆 ) ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑇 ) ) ) ) ↔ ( 𝑂 ∈ 𝐽 ∧ 𝑂 ⊆ ( ∪ 𝐽 ∖ ( ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑆 ) ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑇 ) ) ) ) ) ) |
7 |
1 5 6
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑂 ∈ ( 𝐽 ↾t ( ∪ 𝐽 ∖ ( ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑆 ) ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑇 ) ) ) ) ↔ ( 𝑂 ∈ 𝐽 ∧ 𝑂 ⊆ ( ∪ 𝐽 ∖ ( ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑆 ) ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑇 ) ) ) ) ) ) |
8 |
4 7
|
mpbiran2d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑂 ∈ ( 𝐽 ↾t ( ∪ 𝐽 ∖ ( ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑆 ) ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑇 ) ) ) ) ↔ 𝑂 ∈ 𝐽 ) ) |