Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
iscnrm3rlem4.1 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ∈ Top ) |
2 |
|
iscnrm3rlem4.2 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽 ) |
3 |
|
iscnrm3rlem5.3 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ⊆ ∪ 𝐽 ) |
4 |
|
iscnrm3rlem7.4 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑂 ∈ ( 𝐽 ↾t ( ∪ 𝐽 ∖ ( ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑆 ) ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑇 ) ) ) ) ) |
5 |
1
|
uniexd |
⊢ ( 𝜑 → ∪ 𝐽 ∈ V ) |
6 |
5
|
difexd |
⊢ ( 𝜑 → ( ∪ 𝐽 ∖ ( ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑆 ) ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑇 ) ) ) ∈ V ) |
7 |
|
resttop |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( ∪ 𝐽 ∖ ( ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑆 ) ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑇 ) ) ) ∈ V ) → ( 𝐽 ↾t ( ∪ 𝐽 ∖ ( ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑆 ) ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑇 ) ) ) ) ∈ Top ) |
8 |
1 6 7
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐽 ↾t ( ∪ 𝐽 ∖ ( ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑆 ) ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑇 ) ) ) ) ∈ Top ) |
9 |
|
eqid |
⊢ ∪ ( 𝐽 ↾t ( ∪ 𝐽 ∖ ( ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑆 ) ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑇 ) ) ) ) = ∪ ( 𝐽 ↾t ( ∪ 𝐽 ∖ ( ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑆 ) ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑇 ) ) ) ) |
10 |
9
|
eltopss |
⊢ ( ( ( 𝐽 ↾t ( ∪ 𝐽 ∖ ( ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑆 ) ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑇 ) ) ) ) ∈ Top ∧ 𝑂 ∈ ( 𝐽 ↾t ( ∪ 𝐽 ∖ ( ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑆 ) ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑇 ) ) ) ) ) → 𝑂 ⊆ ∪ ( 𝐽 ↾t ( ∪ 𝐽 ∖ ( ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑆 ) ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑇 ) ) ) ) ) |
11 |
8 4 10
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → 𝑂 ⊆ ∪ ( 𝐽 ↾t ( ∪ 𝐽 ∖ ( ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑆 ) ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑇 ) ) ) ) ) |
12 |
|
difssd |
⊢ ( 𝜑 → ( ∪ 𝐽 ∖ ( ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑆 ) ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑇 ) ) ) ⊆ ∪ 𝐽 ) |
13 |
|
eqid |
⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽 |
14 |
13
|
restuni |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( ∪ 𝐽 ∖ ( ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑆 ) ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑇 ) ) ) ⊆ ∪ 𝐽 ) → ( ∪ 𝐽 ∖ ( ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑆 ) ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑇 ) ) ) = ∪ ( 𝐽 ↾t ( ∪ 𝐽 ∖ ( ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑆 ) ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑇 ) ) ) ) ) |
15 |
1 12 14
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ∪ 𝐽 ∖ ( ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑆 ) ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑇 ) ) ) = ∪ ( 𝐽 ↾t ( ∪ 𝐽 ∖ ( ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑆 ) ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑇 ) ) ) ) ) |
16 |
11 15
|
sseqtrrd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑂 ⊆ ( ∪ 𝐽 ∖ ( ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑆 ) ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑇 ) ) ) ) |
17 |
1 2 3 16
|
iscnrm3rlem6 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑂 ∈ ( 𝐽 ↾t ( ∪ 𝐽 ∖ ( ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑆 ) ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑇 ) ) ) ) ↔ 𝑂 ∈ 𝐽 ) ) |
18 |
4 17
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → 𝑂 ∈ 𝐽 ) |