Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
isleag.p |
⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 ) |
2 |
|
isleag.g |
⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
3 |
|
isleag.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃 ) |
4 |
|
isleag.b |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃 ) |
5 |
|
isleag.c |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃 ) |
6 |
|
isleag.d |
⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃 ) |
7 |
|
isleag.e |
⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃 ) |
8 |
|
isleag.f |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃 ) |
9 |
|
leagne.1 |
⊢ ( 𝜑 → 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ( ≤∠ ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ) |
10 |
|
eqid |
⊢ ( Itv ‘ 𝐺 ) = ( Itv ‘ 𝐺 ) |
11 |
|
eqid |
⊢ ( hlG ‘ 𝐺 ) = ( hlG ‘ 𝐺 ) |
12 |
2
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ( inA ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ∧ 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ( cgrA ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐷 𝐸 𝑥 ”〉 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
13 |
3
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ( inA ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ∧ 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ( cgrA ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐷 𝐸 𝑥 ”〉 ) ) → 𝐴 ∈ 𝑃 ) |
14 |
4
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ( inA ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ∧ 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ( cgrA ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐷 𝐸 𝑥 ”〉 ) ) → 𝐵 ∈ 𝑃 ) |
15 |
5
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ( inA ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ∧ 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ( cgrA ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐷 𝐸 𝑥 ”〉 ) ) → 𝐶 ∈ 𝑃 ) |
16 |
6
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ( inA ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ∧ 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ( cgrA ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐷 𝐸 𝑥 ”〉 ) ) → 𝐷 ∈ 𝑃 ) |
17 |
7
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ( inA ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ∧ 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ( cgrA ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐷 𝐸 𝑥 ”〉 ) ) → 𝐸 ∈ 𝑃 ) |
18 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ( inA ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ∧ 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ( cgrA ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐷 𝐸 𝑥 ”〉 ) ) → 𝑥 ∈ 𝑃 ) |
19 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ( inA ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ∧ 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ( cgrA ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐷 𝐸 𝑥 ”〉 ) ) → 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ( cgrA ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐷 𝐸 𝑥 ”〉 ) |
20 |
1 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
|
cgrane1 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ( inA ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ∧ 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ( cgrA ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐷 𝐸 𝑥 ”〉 ) ) → 𝐴 ≠ 𝐵 ) |
21 |
1 2 3 4 5 6 7 8
|
isleag |
⊢ ( 𝜑 → ( 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ( ≤∠ ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ( 𝑥 ( inA ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ∧ 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ( cgrA ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐷 𝐸 𝑥 ”〉 ) ) ) |
22 |
9 21
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ( 𝑥 ( inA ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”〉 ∧ 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ( cgrA ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐷 𝐸 𝑥 ”〉 ) ) |
23 |
20 22
|
r19.29a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵 ) |