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Theorem llnexch2N

Description: Line exchange property (compare cvlatexch2 for atoms). (Contributed by NM, 18-Nov-2012) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses llnexch.l = ( le ‘ 𝐾 )
llnexch.j = ( join ‘ 𝐾 )
llnexch.m = ( meet ‘ 𝐾 )
llnexch.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
llnexch.n 𝑁 = ( LLines ‘ 𝐾 )
Assertion llnexch2N ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁 ) ∧ ( ( 𝑋 𝑌 ) ∈ 𝐴𝑋𝑍 ) ) → ( ( 𝑋 𝑌 ) 𝑍 → ( 𝑋 𝑍 ) 𝑌 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 llnexch.l = ( le ‘ 𝐾 )
2 llnexch.j = ( join ‘ 𝐾 )
3 llnexch.m = ( meet ‘ 𝐾 )
4 llnexch.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5 llnexch.n 𝑁 = ( LLines ‘ 𝐾 )
6 1 2 3 4 5 llnexchb2 ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁 ) ∧ ( ( 𝑋 𝑌 ) ∈ 𝐴𝑋𝑍 ) ) → ( ( 𝑋 𝑌 ) 𝑍 ↔ ( 𝑋 𝑌 ) = ( 𝑋 𝑍 ) ) )
7 hllat ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat )
8 7 3ad2ant1 ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁 ) ∧ ( ( 𝑋 𝑌 ) ∈ 𝐴𝑋𝑍 ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
9 simp21 ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁 ) ∧ ( ( 𝑋 𝑌 ) ∈ 𝐴𝑋𝑍 ) ) → 𝑋𝑁 )
10 eqid ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
11 10 5 llnbase ( 𝑋𝑁𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
12 9 11 syl ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁 ) ∧ ( ( 𝑋 𝑌 ) ∈ 𝐴𝑋𝑍 ) ) → 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
13 simp22 ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁 ) ∧ ( ( 𝑋 𝑌 ) ∈ 𝐴𝑋𝑍 ) ) → 𝑌𝑁 )
14 10 5 llnbase ( 𝑌𝑁𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
15 13 14 syl ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁 ) ∧ ( ( 𝑋 𝑌 ) ∈ 𝐴𝑋𝑍 ) ) → 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
16 10 1 3 latmle2 ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑋 𝑌 ) 𝑌 )
17 8 12 15 16 syl3anc ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁 ) ∧ ( ( 𝑋 𝑌 ) ∈ 𝐴𝑋𝑍 ) ) → ( 𝑋 𝑌 ) 𝑌 )
18 breq1 ( ( 𝑋 𝑌 ) = ( 𝑋 𝑍 ) → ( ( 𝑋 𝑌 ) 𝑌 ↔ ( 𝑋 𝑍 ) 𝑌 ) )
19 17 18 syl5ibcom ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁 ) ∧ ( ( 𝑋 𝑌 ) ∈ 𝐴𝑋𝑍 ) ) → ( ( 𝑋 𝑌 ) = ( 𝑋 𝑍 ) → ( 𝑋 𝑍 ) 𝑌 ) )
20 6 19 sylbid ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁 ) ∧ ( ( 𝑋 𝑌 ) ∈ 𝐴𝑋𝑍 ) ) → ( ( 𝑋 𝑌 ) 𝑍 → ( 𝑋 𝑍 ) 𝑌 ) )