Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
llnexch.l |
⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 ) |
2 |
|
llnexch.j |
⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 ) |
3 |
|
llnexch.m |
⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 ) |
4 |
|
llnexch.a |
⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 ) |
5 |
|
llnexch.n |
⊢ 𝑁 = ( LLines ‘ 𝐾 ) |
6 |
1 2 3 4 5
|
llnexchb2 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ) ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≤ 𝑍 ↔ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) = ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ) ) |
7 |
|
hllat |
⊢ ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat ) |
8 |
7
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ) ) → 𝐾 ∈ Lat ) |
9 |
|
simp21 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ) ) → 𝑋 ∈ 𝑁 ) |
10 |
|
eqid |
⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 ) |
11 |
10 5
|
llnbase |
⊢ ( 𝑋 ∈ 𝑁 → 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
12 |
9 11
|
syl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ) ) → 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
13 |
|
simp22 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ) ) → 𝑌 ∈ 𝑁 ) |
14 |
10 5
|
llnbase |
⊢ ( 𝑌 ∈ 𝑁 → 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
15 |
13 14
|
syl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ) ) → 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
16 |
10 1 3
|
latmle2 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≤ 𝑌 ) |
17 |
8 12 15 16
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ) ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≤ 𝑌 ) |
18 |
|
breq1 |
⊢ ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) = ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≤ 𝑌 ↔ ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ≤ 𝑌 ) ) |
19 |
17 18
|
syl5ibcom |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ) ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) = ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) → ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ≤ 𝑌 ) ) |
20 |
6 19
|
sylbid |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑁 ) ∧ ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ) ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ≤ 𝑍 → ( 𝑋 ∧ 𝑍 ) ≤ 𝑌 ) ) |