Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ltltncvr.b |
⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 ) |
2 |
|
ltltncvr.s |
⊢ < = ( lt ‘ 𝐾 ) |
3 |
|
ltltncvr.c |
⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘ 𝐾 ) |
4 |
|
simpll |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑋 𝐶 𝑍 ) → 𝐾 ∈ 𝐴 ) |
5 |
|
simplr1 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑋 𝐶 𝑍 ) → 𝑋 ∈ 𝐵 ) |
6 |
|
simplr3 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑋 𝐶 𝑍 ) → 𝑍 ∈ 𝐵 ) |
7 |
|
simplr2 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑋 𝐶 𝑍 ) → 𝑌 ∈ 𝐵 ) |
8 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑋 𝐶 𝑍 ) → 𝑋 𝐶 𝑍 ) |
9 |
1 2 3
|
cvrnbtwn |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑋 𝐶 𝑍 ) → ¬ ( 𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍 ) ) |
10 |
4 5 6 7 8 9
|
syl131anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑋 𝐶 𝑍 ) → ¬ ( 𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍 ) ) |
11 |
10
|
ex |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑋 𝐶 𝑍 → ¬ ( 𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍 ) ) ) |
12 |
11
|
con2d |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍 ) → ¬ 𝑋 𝐶 𝑍 ) ) |