Theorem meran3

Description: A single axiom for propositional calculus discovered by C. A. Meredith. (Contributed by Anthony Hart, 13-Aug-2011)

	Ref	Expression
Assertion	meran3	⊢ ( ¬ ( ¬ ( ¬ 𝜑 ∨ 𝜓 ) ∨ ( 𝜒 ∨ ( 𝜃 ∨ 𝜏 ) ) ) ∨ ( ¬ ( ¬ 𝜒 ∨ 𝜑 ) ∨ ( 𝜏 ∨ ( 𝜃 ∨ 𝜑 ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm2.3	⊢ ( ( 𝜒 ∨ ( 𝜃 ∨ 𝜏 ) ) → ( 𝜒 ∨ ( 𝜏 ∨ 𝜃 ) ) )
2	1	imim2i	⊢ ( ( ( ¬ 𝜑 ∨ 𝜓 ) → ( 𝜒 ∨ ( 𝜃 ∨ 𝜏 ) ) ) → ( ( ¬ 𝜑 ∨ 𝜓 ) → ( 𝜒 ∨ ( 𝜏 ∨ 𝜃 ) ) ) )
3		pm1.5	⊢ ( ( 𝜒 ∨ ( 𝜏 ∨ 𝜃 ) ) → ( 𝜏 ∨ ( 𝜒 ∨ 𝜃 ) ) )
4	2 3	syl6	⊢ ( ( ( ¬ 𝜑 ∨ 𝜓 ) → ( 𝜒 ∨ ( 𝜃 ∨ 𝜏 ) ) ) → ( ( ¬ 𝜑 ∨ 𝜓 ) → ( 𝜏 ∨ ( 𝜒 ∨ 𝜃 ) ) ) )
5		imor	⊢ ( ( ( ¬ 𝜑 ∨ 𝜓 ) → ( 𝜒 ∨ ( 𝜃 ∨ 𝜏 ) ) ) ↔ ( ¬ ( ¬ 𝜑 ∨ 𝜓 ) ∨ ( 𝜒 ∨ ( 𝜃 ∨ 𝜏 ) ) ) )
6		imor	⊢ ( ( ( ¬ 𝜑 ∨ 𝜓 ) → ( 𝜏 ∨ ( 𝜒 ∨ 𝜃 ) ) ) ↔ ( ¬ ( ¬ 𝜑 ∨ 𝜓 ) ∨ ( 𝜏 ∨ ( 𝜒 ∨ 𝜃 ) ) ) )
7	4 5 6	3imtr3i	⊢ ( ( ¬ ( ¬ 𝜑 ∨ 𝜓 ) ∨ ( 𝜒 ∨ ( 𝜃 ∨ 𝜏 ) ) ) → ( ¬ ( ¬ 𝜑 ∨ 𝜓 ) ∨ ( 𝜏 ∨ ( 𝜒 ∨ 𝜃 ) ) ) )
8		meran1	⊢ ( ¬ ( ¬ ( ¬ 𝜑 ∨ 𝜓 ) ∨ ( 𝜏 ∨ ( 𝜒 ∨ 𝜃 ) ) ) ∨ ( ¬ ( ¬ 𝜒 ∨ 𝜑 ) ∨ ( 𝜏 ∨ ( 𝜃 ∨ 𝜑 ) ) ) )
9	8	imorri	⊢ ( ( ¬ ( ¬ 𝜑 ∨ 𝜓 ) ∨ ( 𝜏 ∨ ( 𝜒 ∨ 𝜃 ) ) ) → ( ¬ ( ¬ 𝜒 ∨ 𝜑 ) ∨ ( 𝜏 ∨ ( 𝜃 ∨ 𝜑 ) ) ) )
10	7 9	syl	⊢ ( ( ¬ ( ¬ 𝜑 ∨ 𝜓 ) ∨ ( 𝜒 ∨ ( 𝜃 ∨ 𝜏 ) ) ) → ( ¬ ( ¬ 𝜒 ∨ 𝜑 ) ∨ ( 𝜏 ∨ ( 𝜃 ∨ 𝜑 ) ) ) )
11	10	imori	⊢ ( ¬ ( ¬ ( ¬ 𝜑 ∨ 𝜓 ) ∨ ( 𝜒 ∨ ( 𝜃 ∨ 𝜏 ) ) ) ∨ ( ¬ ( ¬ 𝜒 ∨ 𝜑 ) ∨ ( 𝜏 ∨ ( 𝜃 ∨ 𝜑 ) ) ) )