Theorem mndpsuppfi

Description: The support of a mapping of a scalar multiplication with a function of scalars is finite if the support of the function of scalars is finite. (Contributed by AV, 5-Apr-2019)

	Ref	Expression
Hypothesis	mndpsuppfi.r	⊢ 𝑅 = ( Base ‘ 𝑀 )
Assertion	mndpsuppfi	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉 ∈ 𝑋 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝑅 ↑m 𝑉 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝑅 ↑m 𝑉 ) ) ∧ ( ( 𝐴 supp ( 0g ‘ 𝑀 ) ) ∈ Fin ∧ ( 𝐵 supp ( 0g ‘ 𝑀 ) ) ∈ Fin ) ) → ( ( 𝐴 ∘f ( +g ‘ 𝑀 ) 𝐵 ) supp ( 0g ‘ 𝑀 ) ) ∈ Fin )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndpsuppfi.r	⊢ 𝑅 = ( Base ‘ 𝑀 )
2		unfi	⊢ ( ( ( 𝐴 supp ( 0g ‘ 𝑀 ) ) ∈ Fin ∧ ( 𝐵 supp ( 0g ‘ 𝑀 ) ) ∈ Fin ) → ( ( 𝐴 supp ( 0g ‘ 𝑀 ) ) ∪ ( 𝐵 supp ( 0g ‘ 𝑀 ) ) ) ∈ Fin )
3	2	3ad2ant3	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉 ∈ 𝑋 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝑅 ↑m 𝑉 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝑅 ↑m 𝑉 ) ) ∧ ( ( 𝐴 supp ( 0g ‘ 𝑀 ) ) ∈ Fin ∧ ( 𝐵 supp ( 0g ‘ 𝑀 ) ) ∈ Fin ) ) → ( ( 𝐴 supp ( 0g ‘ 𝑀 ) ) ∪ ( 𝐵 supp ( 0g ‘ 𝑀 ) ) ) ∈ Fin )
4	1	mndpsuppss	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉 ∈ 𝑋 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝑅 ↑m 𝑉 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝑅 ↑m 𝑉 ) ) ) → ( ( 𝐴 ∘f ( +g ‘ 𝑀 ) 𝐵 ) supp ( 0g ‘ 𝑀 ) ) ⊆ ( ( 𝐴 supp ( 0g ‘ 𝑀 ) ) ∪ ( 𝐵 supp ( 0g ‘ 𝑀 ) ) ) )
5	4	3adant3	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉 ∈ 𝑋 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝑅 ↑m 𝑉 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝑅 ↑m 𝑉 ) ) ∧ ( ( 𝐴 supp ( 0g ‘ 𝑀 ) ) ∈ Fin ∧ ( 𝐵 supp ( 0g ‘ 𝑀 ) ) ∈ Fin ) ) → ( ( 𝐴 ∘f ( +g ‘ 𝑀 ) 𝐵 ) supp ( 0g ‘ 𝑀 ) ) ⊆ ( ( 𝐴 supp ( 0g ‘ 𝑀 ) ) ∪ ( 𝐵 supp ( 0g ‘ 𝑀 ) ) ) )
6		ssfi	⊢ ( ( ( ( 𝐴 supp ( 0g ‘ 𝑀 ) ) ∪ ( 𝐵 supp ( 0g ‘ 𝑀 ) ) ) ∈ Fin ∧ ( ( 𝐴 ∘f ( +g ‘ 𝑀 ) 𝐵 ) supp ( 0g ‘ 𝑀 ) ) ⊆ ( ( 𝐴 supp ( 0g ‘ 𝑀 ) ) ∪ ( 𝐵 supp ( 0g ‘ 𝑀 ) ) ) ) → ( ( 𝐴 ∘f ( +g ‘ 𝑀 ) 𝐵 ) supp ( 0g ‘ 𝑀 ) ) ∈ Fin )
7	3 5 6	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑉 ∈ 𝑋 ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝑅 ↑m 𝑉 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝑅 ↑m 𝑉 ) ) ∧ ( ( 𝐴 supp ( 0g ‘ 𝑀 ) ) ∈ Fin ∧ ( 𝐵 supp ( 0g ‘ 𝑀 ) ) ∈ Fin ) ) → ( ( 𝐴 ∘f ( +g ‘ 𝑀 ) 𝐵 ) supp ( 0g ‘ 𝑀 ) ) ∈ Fin )