Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
mulgnndir.b |
⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐺 ) |
2 |
|
mulgnndir.t |
⊢ · = ( .g ‘ 𝐺 ) |
3 |
|
mulgnndir.p |
⊢ + = ( +g ‘ 𝐺 ) |
4 |
|
1z |
⊢ 1 ∈ ℤ |
5 |
1 2 3
|
mulgdir |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑁 + 1 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝑁 · 𝑋 ) + ( 1 · 𝑋 ) ) ) |
6 |
4 5
|
mp3anr2 |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑁 + 1 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝑁 · 𝑋 ) + ( 1 · 𝑋 ) ) ) |
7 |
6
|
3impb |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑁 + 1 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝑁 · 𝑋 ) + ( 1 · 𝑋 ) ) ) |
8 |
1 2
|
mulg1 |
⊢ ( 𝑋 ∈ 𝐵 → ( 1 · 𝑋 ) = 𝑋 ) |
9 |
8
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( 1 · 𝑋 ) = 𝑋 ) |
10 |
9
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑁 · 𝑋 ) + ( 1 · 𝑋 ) ) = ( ( 𝑁 · 𝑋 ) + 𝑋 ) ) |
11 |
7 10
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑁 + 1 ) · 𝑋 ) = ( ( 𝑁 · 𝑋 ) + 𝑋 ) ) |