Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
subcl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( 𝐴 − 𝐵 ) ∈ ℂ ) |
2 |
|
subcl |
⊢ ( ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) → ( 𝐶 − 𝐷 ) ∈ ℂ ) |
3 |
|
mul2neg |
⊢ ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) ∈ ℂ ) → ( - ( 𝐴 − 𝐵 ) · - ( 𝐶 − 𝐷 ) ) = ( ( 𝐴 − 𝐵 ) · ( 𝐶 − 𝐷 ) ) ) |
4 |
1 2 3
|
syl2an |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ) → ( - ( 𝐴 − 𝐵 ) · - ( 𝐶 − 𝐷 ) ) = ( ( 𝐴 − 𝐵 ) · ( 𝐶 − 𝐷 ) ) ) |
5 |
|
negsubdi2 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → - ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ) |
6 |
|
negsubdi2 |
⊢ ( ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) → - ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝐷 − 𝐶 ) ) |
7 |
5 6
|
oveqan12d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ) → ( - ( 𝐴 − 𝐵 ) · - ( 𝐶 − 𝐷 ) ) = ( ( 𝐵 − 𝐴 ) · ( 𝐷 − 𝐶 ) ) ) |
8 |
4 7
|
eqtr3d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ) → ( ( 𝐴 − 𝐵 ) · ( 𝐶 − 𝐷 ) ) = ( ( 𝐵 − 𝐴 ) · ( 𝐷 − 𝐶 ) ) ) |