Theorem norm3adifi

Description: Norm of differences around common element. Part of Lemma 3.6 of Beran p. 101. (Contributed by NM, 3-Oct-1999) (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Hypothesis	norm3adift.1	⊢ 𝐶 ∈ ℋ
Assertion	norm3adifi	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ) → ( abs ‘ ( ( normℎ ‘ ( 𝐴 −ℎ 𝐶 ) ) − ( normℎ ‘ ( 𝐵 −ℎ 𝐶 ) ) ) ) ≤ ( normℎ ‘ ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		norm3adift.1	⊢ 𝐶 ∈ ℋ
2		fvoveq1	⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) → ( normℎ ‘ ( 𝐴 −ℎ 𝐶 ) ) = ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) ) )
3	2	fvoveq1d	⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) → ( abs ‘ ( ( normℎ ‘ ( 𝐴 −ℎ 𝐶 ) ) − ( normℎ ‘ ( 𝐵 −ℎ 𝐶 ) ) ) ) = ( abs ‘ ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) ) − ( normℎ ‘ ( 𝐵 −ℎ 𝐶 ) ) ) ) )
4		fvoveq1	⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) → ( normℎ ‘ ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ) = ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐵 ) ) )
5	3 4	breq12d	⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) → ( ( abs ‘ ( ( normℎ ‘ ( 𝐴 −ℎ 𝐶 ) ) − ( normℎ ‘ ( 𝐵 −ℎ 𝐶 ) ) ) ) ≤ ( normℎ ‘ ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ) ↔ ( abs ‘ ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) ) − ( normℎ ‘ ( 𝐵 −ℎ 𝐶 ) ) ) ) ≤ ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐵 ) ) ) )
6		fvoveq1	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) → ( normℎ ‘ ( 𝐵 −ℎ 𝐶 ) ) = ( normℎ ‘ ( if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) ) )
7	6	oveq2d	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) → ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) ) − ( normℎ ‘ ( 𝐵 −ℎ 𝐶 ) ) ) = ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) ) − ( normℎ ‘ ( if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) ) ) )
8	7	fveq2d	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) → ( abs ‘ ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) ) − ( normℎ ‘ ( 𝐵 −ℎ 𝐶 ) ) ) ) = ( abs ‘ ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) ) − ( normℎ ‘ ( if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) ) ) ) )
9		oveq2	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) → ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐵 ) = ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) )
10	9	fveq2d	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) → ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐵 ) ) = ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) )
11	8 10	breq12d	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) → ( ( abs ‘ ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) ) − ( normℎ ‘ ( 𝐵 −ℎ 𝐶 ) ) ) ) ≤ ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐵 ) ) ↔ ( abs ‘ ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) ) − ( normℎ ‘ ( if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) ) ) ) ≤ ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) ) )
12		ifhvhv0	⊢ if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ∈ ℋ
13		ifhvhv0	⊢ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ∈ ℋ
14	12 13 1	norm3adifii	⊢ ( abs ‘ ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) ) − ( normℎ ‘ ( if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) ) ) ) ≤ ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) )
15	5 11 14	dedth2h	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ) → ( abs ‘ ( ( normℎ ‘ ( 𝐴 −ℎ 𝐶 ) ) − ( normℎ ‘ ( 𝐵 −ℎ 𝐶 ) ) ) ) ≤ ( normℎ ‘ ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ) )