Theorem norm3dif

Description: Norm of differences around common element. Part of Lemma 3.6 of Beran p. 101. (Contributed by NM, 20-Apr-2006) (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Assertion	norm3dif	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ) → ( normℎ ‘ ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ) ≤ ( ( normℎ ‘ ( 𝐴 −ℎ 𝐶 ) ) + ( normℎ ‘ ( 𝐶 −ℎ 𝐵 ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvoveq1	⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) → ( normℎ ‘ ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ) = ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐵 ) ) )
2		fvoveq1	⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) → ( normℎ ‘ ( 𝐴 −ℎ 𝐶 ) ) = ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) ) )
3	2	oveq1d	⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) → ( ( normℎ ‘ ( 𝐴 −ℎ 𝐶 ) ) + ( normℎ ‘ ( 𝐶 −ℎ 𝐵 ) ) ) = ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) ) + ( normℎ ‘ ( 𝐶 −ℎ 𝐵 ) ) ) )
4	1 3	breq12d	⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) → ( ( normℎ ‘ ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ) ≤ ( ( normℎ ‘ ( 𝐴 −ℎ 𝐶 ) ) + ( normℎ ‘ ( 𝐶 −ℎ 𝐵 ) ) ) ↔ ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐵 ) ) ≤ ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) ) + ( normℎ ‘ ( 𝐶 −ℎ 𝐵 ) ) ) ) )
5		oveq2	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) → ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐵 ) = ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) )
6	5	fveq2d	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) → ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐵 ) ) = ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) )
7		oveq2	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) → ( 𝐶 −ℎ 𝐵 ) = ( 𝐶 −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) )
8	7	fveq2d	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) → ( normℎ ‘ ( 𝐶 −ℎ 𝐵 ) ) = ( normℎ ‘ ( 𝐶 −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) )
9	8	oveq2d	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) → ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) ) + ( normℎ ‘ ( 𝐶 −ℎ 𝐵 ) ) ) = ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) ) + ( normℎ ‘ ( 𝐶 −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) ) )
10	6 9	breq12d	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) → ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐵 ) ) ≤ ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) ) + ( normℎ ‘ ( 𝐶 −ℎ 𝐵 ) ) ) ↔ ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) ≤ ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) ) + ( normℎ ‘ ( 𝐶 −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) ) ) )
11		oveq2	⊢ ( 𝐶 = if ( 𝐶 ∈ ℋ , 𝐶 , 0ℎ ) → ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) = ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐶 ∈ ℋ , 𝐶 , 0ℎ ) ) )
12	11	fveq2d	⊢ ( 𝐶 = if ( 𝐶 ∈ ℋ , 𝐶 , 0ℎ ) → ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) ) = ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐶 ∈ ℋ , 𝐶 , 0ℎ ) ) ) )
13		fvoveq1	⊢ ( 𝐶 = if ( 𝐶 ∈ ℋ , 𝐶 , 0ℎ ) → ( normℎ ‘ ( 𝐶 −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) = ( normℎ ‘ ( if ( 𝐶 ∈ ℋ , 𝐶 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) )
14	12 13	oveq12d	⊢ ( 𝐶 = if ( 𝐶 ∈ ℋ , 𝐶 , 0ℎ ) → ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) ) + ( normℎ ‘ ( 𝐶 −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) ) = ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐶 ∈ ℋ , 𝐶 , 0ℎ ) ) ) + ( normℎ ‘ ( if ( 𝐶 ∈ ℋ , 𝐶 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) ) )
15	14	breq2d	⊢ ( 𝐶 = if ( 𝐶 ∈ ℋ , 𝐶 , 0ℎ ) → ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) ≤ ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) ) + ( normℎ ‘ ( 𝐶 −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) ) ↔ ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) ≤ ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐶 ∈ ℋ , 𝐶 , 0ℎ ) ) ) + ( normℎ ‘ ( if ( 𝐶 ∈ ℋ , 𝐶 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) ) ) )
16		ifhvhv0	⊢ if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ∈ ℋ
17		ifhvhv0	⊢ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ∈ ℋ
18		ifhvhv0	⊢ if ( 𝐶 ∈ ℋ , 𝐶 , 0ℎ ) ∈ ℋ
19	16 17 18	norm3difi	⊢ ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) ≤ ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐶 ∈ ℋ , 𝐶 , 0ℎ ) ) ) + ( normℎ ‘ ( if ( 𝐶 ∈ ℋ , 𝐶 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) )
20	4 10 15 19	dedth3h	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ) → ( normℎ ‘ ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ) ≤ ( ( normℎ ‘ ( 𝐴 −ℎ 𝐶 ) ) + ( normℎ ‘ ( 𝐶 −ℎ 𝐵 ) ) ) )