Theorem norm3lemt

Description: Lemma involving norm of differences in Hilbert space. (Contributed by NM, 18-Aug-1999) (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Assertion	norm3lemt	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) ) → ( ( ( normℎ ‘ ( 𝐴 −ℎ 𝐶 ) ) < ( 𝐷 / 2 ) ∧ ( normℎ ‘ ( 𝐶 −ℎ 𝐵 ) ) < ( 𝐷 / 2 ) ) → ( normℎ ‘ ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ) < 𝐷 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvoveq1	⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) → ( normℎ ‘ ( 𝐴 −ℎ 𝐶 ) ) = ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) ) )
2	1	breq1d	⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) → ( ( normℎ ‘ ( 𝐴 −ℎ 𝐶 ) ) < ( 𝐷 / 2 ) ↔ ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) ) < ( 𝐷 / 2 ) ) )
3	2	anbi1d	⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) → ( ( ( normℎ ‘ ( 𝐴 −ℎ 𝐶 ) ) < ( 𝐷 / 2 ) ∧ ( normℎ ‘ ( 𝐶 −ℎ 𝐵 ) ) < ( 𝐷 / 2 ) ) ↔ ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) ) < ( 𝐷 / 2 ) ∧ ( normℎ ‘ ( 𝐶 −ℎ 𝐵 ) ) < ( 𝐷 / 2 ) ) ) )
4		fvoveq1	⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) → ( normℎ ‘ ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ) = ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐵 ) ) )
5	4	breq1d	⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) → ( ( normℎ ‘ ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ) < 𝐷 ↔ ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐵 ) ) < 𝐷 ) )
6	3 5	imbi12d	⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) → ( ( ( ( normℎ ‘ ( 𝐴 −ℎ 𝐶 ) ) < ( 𝐷 / 2 ) ∧ ( normℎ ‘ ( 𝐶 −ℎ 𝐵 ) ) < ( 𝐷 / 2 ) ) → ( normℎ ‘ ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ) < 𝐷 ) ↔ ( ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) ) < ( 𝐷 / 2 ) ∧ ( normℎ ‘ ( 𝐶 −ℎ 𝐵 ) ) < ( 𝐷 / 2 ) ) → ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐵 ) ) < 𝐷 ) ) )
7		oveq2	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) → ( 𝐶 −ℎ 𝐵 ) = ( 𝐶 −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) )
8	7	fveq2d	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) → ( normℎ ‘ ( 𝐶 −ℎ 𝐵 ) ) = ( normℎ ‘ ( 𝐶 −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) )
9	8	breq1d	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) → ( ( normℎ ‘ ( 𝐶 −ℎ 𝐵 ) ) < ( 𝐷 / 2 ) ↔ ( normℎ ‘ ( 𝐶 −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) < ( 𝐷 / 2 ) ) )
10	9	anbi2d	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) → ( ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) ) < ( 𝐷 / 2 ) ∧ ( normℎ ‘ ( 𝐶 −ℎ 𝐵 ) ) < ( 𝐷 / 2 ) ) ↔ ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) ) < ( 𝐷 / 2 ) ∧ ( normℎ ‘ ( 𝐶 −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) < ( 𝐷 / 2 ) ) ) )
11		oveq2	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) → ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐵 ) = ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) )
12	11	fveq2d	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) → ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐵 ) ) = ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) )
13	12	breq1d	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) → ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐵 ) ) < 𝐷 ↔ ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) < 𝐷 ) )
14	10 13	imbi12d	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) → ( ( ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) ) < ( 𝐷 / 2 ) ∧ ( normℎ ‘ ( 𝐶 −ℎ 𝐵 ) ) < ( 𝐷 / 2 ) ) → ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐵 ) ) < 𝐷 ) ↔ ( ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) ) < ( 𝐷 / 2 ) ∧ ( normℎ ‘ ( 𝐶 −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) < ( 𝐷 / 2 ) ) → ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) < 𝐷 ) ) )
15		oveq2	⊢ ( 𝐶 = if ( 𝐶 ∈ ℋ , 𝐶 , 0ℎ ) → ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) = ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐶 ∈ ℋ , 𝐶 , 0ℎ ) ) )
16	15	fveq2d	⊢ ( 𝐶 = if ( 𝐶 ∈ ℋ , 𝐶 , 0ℎ ) → ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) ) = ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐶 ∈ ℋ , 𝐶 , 0ℎ ) ) ) )
17	16	breq1d	⊢ ( 𝐶 = if ( 𝐶 ∈ ℋ , 𝐶 , 0ℎ ) → ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) ) < ( 𝐷 / 2 ) ↔ ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐶 ∈ ℋ , 𝐶 , 0ℎ ) ) ) < ( 𝐷 / 2 ) ) )
18		fvoveq1	⊢ ( 𝐶 = if ( 𝐶 ∈ ℋ , 𝐶 , 0ℎ ) → ( normℎ ‘ ( 𝐶 −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) = ( normℎ ‘ ( if ( 𝐶 ∈ ℋ , 𝐶 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) )
19	18	breq1d	⊢ ( 𝐶 = if ( 𝐶 ∈ ℋ , 𝐶 , 0ℎ ) → ( ( normℎ ‘ ( 𝐶 −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) < ( 𝐷 / 2 ) ↔ ( normℎ ‘ ( if ( 𝐶 ∈ ℋ , 𝐶 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) < ( 𝐷 / 2 ) ) )
20	17 19	anbi12d	⊢ ( 𝐶 = if ( 𝐶 ∈ ℋ , 𝐶 , 0ℎ ) → ( ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) ) < ( 𝐷 / 2 ) ∧ ( normℎ ‘ ( 𝐶 −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) < ( 𝐷 / 2 ) ) ↔ ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐶 ∈ ℋ , 𝐶 , 0ℎ ) ) ) < ( 𝐷 / 2 ) ∧ ( normℎ ‘ ( if ( 𝐶 ∈ ℋ , 𝐶 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) < ( 𝐷 / 2 ) ) ) )
21	20	imbi1d	⊢ ( 𝐶 = if ( 𝐶 ∈ ℋ , 𝐶 , 0ℎ ) → ( ( ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ 𝐶 ) ) < ( 𝐷 / 2 ) ∧ ( normℎ ‘ ( 𝐶 −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) < ( 𝐷 / 2 ) ) → ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) < 𝐷 ) ↔ ( ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐶 ∈ ℋ , 𝐶 , 0ℎ ) ) ) < ( 𝐷 / 2 ) ∧ ( normℎ ‘ ( if ( 𝐶 ∈ ℋ , 𝐶 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) < ( 𝐷 / 2 ) ) → ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) < 𝐷 ) ) )
22		oveq1	⊢ ( 𝐷 = if ( 𝐷 ∈ ℝ , 𝐷 , 2 ) → ( 𝐷 / 2 ) = ( if ( 𝐷 ∈ ℝ , 𝐷 , 2 ) / 2 ) )
23	22	breq2d	⊢ ( 𝐷 = if ( 𝐷 ∈ ℝ , 𝐷 , 2 ) → ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐶 ∈ ℋ , 𝐶 , 0ℎ ) ) ) < ( 𝐷 / 2 ) ↔ ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐶 ∈ ℋ , 𝐶 , 0ℎ ) ) ) < ( if ( 𝐷 ∈ ℝ , 𝐷 , 2 ) / 2 ) ) )
24	22	breq2d	⊢ ( 𝐷 = if ( 𝐷 ∈ ℝ , 𝐷 , 2 ) → ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐶 ∈ ℋ , 𝐶 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) < ( 𝐷 / 2 ) ↔ ( normℎ ‘ ( if ( 𝐶 ∈ ℋ , 𝐶 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) < ( if ( 𝐷 ∈ ℝ , 𝐷 , 2 ) / 2 ) ) )
25	23 24	anbi12d	⊢ ( 𝐷 = if ( 𝐷 ∈ ℝ , 𝐷 , 2 ) → ( ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐶 ∈ ℋ , 𝐶 , 0ℎ ) ) ) < ( 𝐷 / 2 ) ∧ ( normℎ ‘ ( if ( 𝐶 ∈ ℋ , 𝐶 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) < ( 𝐷 / 2 ) ) ↔ ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐶 ∈ ℋ , 𝐶 , 0ℎ ) ) ) < ( if ( 𝐷 ∈ ℝ , 𝐷 , 2 ) / 2 ) ∧ ( normℎ ‘ ( if ( 𝐶 ∈ ℋ , 𝐶 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) < ( if ( 𝐷 ∈ ℝ , 𝐷 , 2 ) / 2 ) ) ) )
26		breq2	⊢ ( 𝐷 = if ( 𝐷 ∈ ℝ , 𝐷 , 2 ) → ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) < 𝐷 ↔ ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) < if ( 𝐷 ∈ ℝ , 𝐷 , 2 ) ) )
27	25 26	imbi12d	⊢ ( 𝐷 = if ( 𝐷 ∈ ℝ , 𝐷 , 2 ) → ( ( ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐶 ∈ ℋ , 𝐶 , 0ℎ ) ) ) < ( 𝐷 / 2 ) ∧ ( normℎ ‘ ( if ( 𝐶 ∈ ℋ , 𝐶 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) < ( 𝐷 / 2 ) ) → ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) < 𝐷 ) ↔ ( ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐶 ∈ ℋ , 𝐶 , 0ℎ ) ) ) < ( if ( 𝐷 ∈ ℝ , 𝐷 , 2 ) / 2 ) ∧ ( normℎ ‘ ( if ( 𝐶 ∈ ℋ , 𝐶 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) < ( if ( 𝐷 ∈ ℝ , 𝐷 , 2 ) / 2 ) ) → ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) < if ( 𝐷 ∈ ℝ , 𝐷 , 2 ) ) ) )
28		ifhvhv0	⊢ if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) ∈ ℋ
29		ifhvhv0	⊢ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ∈ ℋ
30		ifhvhv0	⊢ if ( 𝐶 ∈ ℋ , 𝐶 , 0ℎ ) ∈ ℋ
31		2re	⊢ 2 ∈ ℝ
32	31	elimel	⊢ if ( 𝐷 ∈ ℝ , 𝐷 , 2 ) ∈ ℝ
33	28 29 30 32	norm3lem	⊢ ( ( ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐶 ∈ ℋ , 𝐶 , 0ℎ ) ) ) < ( if ( 𝐷 ∈ ℝ , 𝐷 , 2 ) / 2 ) ∧ ( normℎ ‘ ( if ( 𝐶 ∈ ℋ , 𝐶 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) < ( if ( 𝐷 ∈ ℝ , 𝐷 , 2 ) / 2 ) ) → ( normℎ ‘ ( if ( 𝐴 ∈ ℋ , 𝐴 , 0ℎ ) −ℎ if ( 𝐵 ∈ ℋ , 𝐵 , 0ℎ ) ) ) < if ( 𝐷 ∈ ℝ , 𝐷 , 2 ) )
34	6 14 21 27 33	dedth4h	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) ) → ( ( ( normℎ ‘ ( 𝐴 −ℎ 𝐶 ) ) < ( 𝐷 / 2 ) ∧ ( normℎ ‘ ( 𝐶 −ℎ 𝐵 ) ) < ( 𝐷 / 2 ) ) → ( normℎ ‘ ( 𝐴 −ℎ 𝐵 ) ) < 𝐷 ) )