Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
nvvcop |
⊢ ( 〈 〈 𝐺 , 𝑆 〉 , 𝑁 〉 ∈ NrmCVec → 〈 𝐺 , 𝑆 〉 ∈ CVecOLD ) |
2 |
|
vcex |
⊢ ( 〈 𝐺 , 𝑆 〉 ∈ CVecOLD → ( 𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V ) ) |
3 |
1 2
|
syl |
⊢ ( 〈 〈 𝐺 , 𝑆 〉 , 𝑁 〉 ∈ NrmCVec → ( 𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V ) ) |
4 |
|
nvss |
⊢ NrmCVec ⊆ ( CVecOLD × V ) |
5 |
4
|
sseli |
⊢ ( 〈 〈 𝐺 , 𝑆 〉 , 𝑁 〉 ∈ NrmCVec → 〈 〈 𝐺 , 𝑆 〉 , 𝑁 〉 ∈ ( CVecOLD × V ) ) |
6 |
|
opelxp2 |
⊢ ( 〈 〈 𝐺 , 𝑆 〉 , 𝑁 〉 ∈ ( CVecOLD × V ) → 𝑁 ∈ V ) |
7 |
5 6
|
syl |
⊢ ( 〈 〈 𝐺 , 𝑆 〉 , 𝑁 〉 ∈ NrmCVec → 𝑁 ∈ V ) |
8 |
|
df-3an |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V ) ↔ ( ( 𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V ) ∧ 𝑁 ∈ V ) ) |
9 |
3 7 8
|
sylanbrc |
⊢ ( 〈 〈 𝐺 , 𝑆 〉 , 𝑁 〉 ∈ NrmCVec → ( 𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V ) ) |