Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
odrngstr.w |
⊢ 𝑊 = ( { 〈 ( Base ‘ ndx ) , 𝐵 〉 , 〈 ( +g ‘ ndx ) , + 〉 , 〈 ( .r ‘ ndx ) , · 〉 } ∪ { 〈 ( TopSet ‘ ndx ) , 𝐽 〉 , 〈 ( le ‘ ndx ) , ≤ 〉 , 〈 ( dist ‘ ndx ) , 𝐷 〉 } ) |
2 |
1
|
odrngstr |
⊢ 𝑊 Struct 〈 1 , ; 1 2 〉 |
3 |
|
pleid |
⊢ le = Slot ( le ‘ ndx ) |
4 |
|
snsstp2 |
⊢ { 〈 ( le ‘ ndx ) , ≤ 〉 } ⊆ { 〈 ( TopSet ‘ ndx ) , 𝐽 〉 , 〈 ( le ‘ ndx ) , ≤ 〉 , 〈 ( dist ‘ ndx ) , 𝐷 〉 } |
5 |
|
ssun2 |
⊢ { 〈 ( TopSet ‘ ndx ) , 𝐽 〉 , 〈 ( le ‘ ndx ) , ≤ 〉 , 〈 ( dist ‘ ndx ) , 𝐷 〉 } ⊆ ( { 〈 ( Base ‘ ndx ) , 𝐵 〉 , 〈 ( +g ‘ ndx ) , + 〉 , 〈 ( .r ‘ ndx ) , · 〉 } ∪ { 〈 ( TopSet ‘ ndx ) , 𝐽 〉 , 〈 ( le ‘ ndx ) , ≤ 〉 , 〈 ( dist ‘ ndx ) , 𝐷 〉 } ) |
6 |
5 1
|
sseqtrri |
⊢ { 〈 ( TopSet ‘ ndx ) , 𝐽 〉 , 〈 ( le ‘ ndx ) , ≤ 〉 , 〈 ( dist ‘ ndx ) , 𝐷 〉 } ⊆ 𝑊 |
7 |
4 6
|
sstri |
⊢ { 〈 ( le ‘ ndx ) , ≤ 〉 } ⊆ 𝑊 |
8 |
2 3 7
|
strfv |
⊢ ( ≤ ∈ 𝑉 → ≤ = ( le ‘ 𝑊 ) ) |