Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
pmtrfval.t |
⊢ 𝑇 = ( pmTrsp ‘ 𝐷 ) |
2 |
|
simp1 |
⊢ ( ( 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍 ) ) → 𝐷 ∈ 𝑉 ) |
3 |
|
simp1 |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷 ) → 𝑋 ∈ 𝐷 ) |
4 |
3
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍 ) ) → 𝑋 ∈ 𝐷 ) |
5 |
|
simp22 |
⊢ ( ( 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍 ) ) → 𝑌 ∈ 𝐷 ) |
6 |
4 5
|
prssd |
⊢ ( ( 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍 ) ) → { 𝑋 , 𝑌 } ⊆ 𝐷 ) |
7 |
|
pr2nelem |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) → { 𝑋 , 𝑌 } ≈ 2o ) |
8 |
7
|
3expia |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑋 ≠ 𝑌 → { 𝑋 , 𝑌 } ≈ 2o ) ) |
9 |
8
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑋 ≠ 𝑌 → { 𝑋 , 𝑌 } ≈ 2o ) ) |
10 |
9
|
com12 |
⊢ ( 𝑋 ≠ 𝑌 → ( ( 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷 ) → { 𝑋 , 𝑌 } ≈ 2o ) ) |
11 |
10
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍 ) → ( ( 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷 ) → { 𝑋 , 𝑌 } ≈ 2o ) ) |
12 |
11
|
impcom |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍 ) ) → { 𝑋 , 𝑌 } ≈ 2o ) |
13 |
12
|
3adant1 |
⊢ ( ( 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍 ) ) → { 𝑋 , 𝑌 } ≈ 2o ) |
14 |
|
simp23 |
⊢ ( ( 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍 ) ) → 𝑍 ∈ 𝐷 ) |
15 |
1
|
pmtrfv |
⊢ ( ( ( 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ { 𝑋 , 𝑌 } ⊆ 𝐷 ∧ { 𝑋 , 𝑌 } ≈ 2o ) ∧ 𝑍 ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝑇 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ‘ 𝑍 ) = if ( 𝑍 ∈ { 𝑋 , 𝑌 } , ∪ ( { 𝑋 , 𝑌 } ∖ { 𝑍 } ) , 𝑍 ) ) |
16 |
2 6 13 14 15
|
syl31anc |
⊢ ( ( 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍 ) ) → ( ( 𝑇 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ‘ 𝑍 ) = if ( 𝑍 ∈ { 𝑋 , 𝑌 } , ∪ ( { 𝑋 , 𝑌 } ∖ { 𝑍 } ) , 𝑍 ) ) |
17 |
|
necom |
⊢ ( 𝑋 ≠ 𝑍 ↔ 𝑍 ≠ 𝑋 ) |
18 |
17
|
biimpi |
⊢ ( 𝑋 ≠ 𝑍 → 𝑍 ≠ 𝑋 ) |
19 |
18
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍 ) → 𝑍 ≠ 𝑋 ) |
20 |
19
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍 ) ) → 𝑍 ≠ 𝑋 ) |
21 |
|
necom |
⊢ ( 𝑌 ≠ 𝑍 ↔ 𝑍 ≠ 𝑌 ) |
22 |
21
|
biimpi |
⊢ ( 𝑌 ≠ 𝑍 → 𝑍 ≠ 𝑌 ) |
23 |
22
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍 ) → 𝑍 ≠ 𝑌 ) |
24 |
23
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍 ) ) → 𝑍 ≠ 𝑌 ) |
25 |
20 24
|
nelprd |
⊢ ( ( 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍 ) ) → ¬ 𝑍 ∈ { 𝑋 , 𝑌 } ) |
26 |
25
|
iffalsed |
⊢ ( ( 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍 ) ) → if ( 𝑍 ∈ { 𝑋 , 𝑌 } , ∪ ( { 𝑋 , 𝑌 } ∖ { 𝑍 } ) , 𝑍 ) = 𝑍 ) |
27 |
16 26
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍 ) ) → ( ( 𝑇 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ‘ 𝑍 ) = 𝑍 ) |